漫士用渗流模型推演相变机理 证明微观权力分散反而引爆宏观突变

漫士用渗流模型推演相变机理 证明微观权力分散反而引爆宏观突变 当系统中单个变量的主导权被稀释至趋近于零，微观长链的求导累加效应反而促使宏观斜率激增，导致系统在临界点爆发剧烈质变。 视频从水结冰与居里点退磁等宏观突变切入，以经典的二维方格网格边渗流模型为核心，详细拆解了系统如何在临界参数微小扰动下发生戏剧性的质变。漫士利用网格的自对偶性严格推导出临界概率恒为 1/2，并通过多数表决模型中的信噪比碾压、Margulis–Russo 关键边公式以及 Talagrand 不等式，从数学上证明了“微观个体越民主，宏观突变越尖锐”的反直觉机制。最后，内容延伸至 Harris-Kesten 定理与重整化群理论，借助粗粒化思想、不动点迭代以及临界乳光现象，将相变的严谨推导升华至“退后一步方见本质”的深刻科学哲学。 二维方格网格的边渗流临界点被几何自对偶性严格锁定在 p = 1/2，水流纵向贯通与对偶城墙横向阻断互斥且完备，使得临界贯通概率具有尺度无关性。 (4:26) Margulis–Russo 公式与 Talagrand 不等式揭示了民主系统的突变机理：个体主导权被稀释得越微小（δ 越低），系统斜率 F'(p) 越会以 Ω(log(1/δ)) 激增，在海量规模下相变窗口迅速坍缩为 0。 (14:05) Harris-Kesten 定理结合重整化群粗粒化方法证明，微小偏离 p = 1/2 会导致贯通失败率按平方级（ε_{2n} ≤ 25ε_n^2）极速归零，将宏观状态强力推向两个极端的吸引不动点。 (35:19) 临界点处的自相似性在宏观上表现为无特征尺度波动，液气临界点因涨落团簇跨越可见光全波段引发强漫反射，形成著名的“临界乳光”现象。 (39:27)

漫士探讨了微观连续平滑的参数变化为何会引发宏观剧烈质变的问题，通过二维方格边渗流模型、多数表决模型、Margulis–Russo 公式与重整化群理论，从数学和统计机理上论证了临界相变与“量变产生质变”的本质规律。 渗流相变与自对偶几何平衡 (1:14) 在边渗流（Bond Percolation）模型中，网络每条边以独立概率 p 导通。在庞大的二维正方形网络中，当 p 从 0.49 微调 2% 至 0.51 时，水流贯通概率会从几乎为 0 骤升至几乎为 1。这一临界突变机制抽象自现实中的群体免疫阈值、森林防火隔离带阻隔以及多孔岩石石油开采等离散复杂系统。 正方网格边渗流临界点精确为 1/2，其核心源于几何上的自对偶性（Self-duality）。在二维平面上，原网格中从上到下导通的“水路”与对偶网格中从左到右阻断的“城墙”是互斥且完备的拓扑事件，二者概率之和恒为 1。在 p = 1/2 时，原图与对偶图在开通概率与旋转对称性上完全等同，使得纵向贯穿概率被唯一锁定为 1/2。根据 Russo–Seymour–Welsh 思想，在 p = 1/2 平衡点处，任意固定长宽比矩形沿长边贯穿的概率均具有大于零的常数下界，摆脱了尺寸扩张带来的指数衰减；而对于缺乏自对偶性的点渗流模型，其尖锐临界点则跃迁至约 0.5927。 信噪比碾压与关键边导数机制 (11:12) 多数表决模型（Majority Vote）构成了宏观突变的最简动力学解析原型：若 N 个人以 p = 1/2 + δ 独立投票，赞成票超越半数的确定性信号量为 Nδ，随总人数线性增长；而随机涨落噪声的标准差仅以根号 N 的量级增长。当总人数达到 1 亿时，δ 仅需达到 0.0001 即可使通过率飙升至 98%，线性信号对平方根噪声的相对碾压迫使宏观函数坍缩为阶跃曲线。 在微积分层面，宏观相变的尖锐程度体现为导数 F'(p) 在临界点具有巨大下界。漫士借助阈值耦合采样分析指出，当参数由 p 增至 p + dp 时，几乎有且仅有一条边被额外激活。只有处于“断开则阻断、开通则全局贯穿”千钧一发状态的“关键边”（Pivotal Edge），才能逆转全局状态。Margulis–Russo 公式严格确立了宏观导数等于全网所有微观边成为关键边的概率总和，揭示了宏观跃迁斜率是由微观决胜概率累加而成的本质。 民主分散性与 Talagrand 尖锐相变 (25:23) 微观边要晋升为关键边，其几何周围必须严苛地向外辐射出直通宏观边界的四条长臂（两条原图水路与两条对偶城墙）。通过构建半径呈 3 倍递增的同心环带可以证明，水路向外延伸时每跨越一层环带都会遭遇至少具备常数下界概率的对偶墙四方合围，导致单条边成为决胜边的概率被强力压制在幂律衰减（不超过 n 的负 α 次方）之内。 1994 年米歇尔·塔拉格兰（Michel Talagrand）证明的不等式指出：若单调系统中微观变量的最大主导权不超过 δ，宏观斜率至少满足 Ω(log(1/δ))。沙漏型“独裁”结构因单一变量主导导致导数恒为 1 且无突变；而均质的“民主”网络将关键机会高度平摊至海量微观个体，宏观导通依赖一条漫长的条件链，参数变化在整条链条上产生乘法放大效应。结合 Logit 变换，系统完成相变所需的参数窗口宽度不超过 C/log n（二维方格实际收缩速度遵循约 n 的负 3/4 次方幂律），当尺寸趋向无穷时突变窗口严格缩减为 0。 粗粒化重整化与临界自相似性 (35:19) Harris-Kesten 定理通过将 2n × n 的矩形作为粗粒化积木进行自相似拼织，证明当参数略微越过临界点时，更大尺度的失败概率呈现平方级断崖式下跌（ε_{2n} ≤ 25 ε_n^2），从而在数学上严格证明了二维方格边渗流临界点精确为 1/2。这种忽略微观细节、在更大尺度上复现规律的粗粒化方法对应着物理学中的重整化群理论。 重整化映射表明，微观参数只要稍稍偏离 1/2，在尺度逐级迭代放大后都会不可逆地坠入两极的平庸不动点（表现为全阻或全通）。唯独在临界点 1/2 处，系统处于非平庸不动点，呈现出跨越所有尺度的分形自相似性与无特征尺度涨落。这一机制解释了伊辛磁铁在居里温度下的磁畴结构，以及二氧化碳在液气临界点因大尺度团簇漫反射全波段可见光而瞬间浑浊的“临界乳光”现象。 重整化群展现了一种“退后一步方见本质”的认识论：微观个体层充斥着随机涨落与杂质，唯有通过层层粗粒化滤去无关变量，跨越尺度的本质规律与不动点才会显现。该论证以严谨可解的二维方格模型为基础，阐明了量变到质变的数学机理，而对更高维或复杂非均质网络相变临界特性的精确刻画仍是统计物理中的重要课题。

[0:00] 漫士: 喝下10公斤就会导致急性昏迷。然而，它最令人着迷的是其截然不同的相变特性：在标准大气压下，只要温度比 0℃ 稍高一点点，它就是自由流动的液体；比 0℃ 稍低一点点，它就会骤变为坚硬的固体。 [1:14] 漫士: 临界点（Critical point）中的 critical 源于希腊语词根 krinein，本意并非苛刻，而是判决、抉择、审判。 [4:26] 漫士: 1/2 不是简单的区间中点，而是系统与自身对偶镜像达成绝对动态平衡的奇点。 [8:58] 漫士: 在 p=1/2 时，任意固定长宽比的矩形，沿着长边贯通的概率都有一个大于零的常数下界，与具体尺寸无关。 [11:12] 漫士: 在浩瀚的人数体量下，线性增长的信号对平方根增长的噪声形成了降维碾压。绝大多数区间直接坍缩为决定性的阶跃函数——这正是宏观突变的最原始动力学模型。 [14:05] 漫士: 宏观相变跃迁的斜率，精确等于系统中所有微观个体成为决定全局命运的关键先生的概率总和！ [19:44] 漫士: 正是因为每一个个体的影响力都被稀释到极致微小，所有个体的主导概率求和后，反而会积蓄出极其庞大的宏观导数，从而直接炸开一道锋利的相变绝壁。 [25:23] 漫士: 当每条边都不太重要时，这个主导机会的总和反而会非常的大；如果一条边太重要，反而不会有尖锐的突变。 [25:23] 漫士: 若宏观单调事件由同一参数 p 决定，且每个微观变量的主导机会均不超 δ，则 F'(p) ≥ Ω(log(1/δ)) [44:09] 漫士: 越看越粗，反而会越看越明，因为在尺度放大的过程中，被层层洗刷掉的都是细枝末节的无关变量，而最终沉淀保留下来的，才是不随尺度改变的本质不动点。 [44:59] 漫士: 漫士沉思录，学海引路不辛苦，我们下期再会。

[0:00] 这是一种非常危险的液体 [0:02] 氢氧化氢 [0:03] 只需要喝下10公斤 [0:04] 就能让人急性昏迷 [0:06] 但今天我们关心的是它 [0:08] 另一个更神奇的性质 [0:10] 标准大气压下 [0:11] 比0摄氏度稍微高一点点 [0:13] 它是流动的液体 [0:14] 而比0度低一点点 [0:16] 它就会变成坚硬的固体 [0:18] 在0度这个位置 [0:19] 有一条非常清晰而且截然的分界 [0:22] 把物质的两种不同的形态完全分开 [0:26] 类似的情况还有消磁 [0:28] 给一块纯铁的磁铁加热 [0:30] 在大约770摄氏度之前 [0:32] 它还可以有磁性 [0:33] 可一旦跨过这个温度 [0:35] 自发的磁性就彻底消失了 [0:37] 这个温度叫做居里点 [0:39] 同样是一条精确的分界线 [0:42] 为什么当温度连续变化时 [0:45] 自然世界的宏观性质却 [0:47] 往往不是连续过渡的 [0:48] 而是在某一个精确的 [0:49] 位置上发生巨大的突变呢 [0:52] 今天我将会用一个简单的数学模型 [0:55] 带你了解自然界突变的通用原理 [0:58] 甚至计算出特定问题突变的位置 [1:00] 并理解这背后深刻的哲学 [1:02] 观前提醒 [1:03] 本期视频长达40分钟 [1:05] 内容非常专业系统 [1:06] 希望大家可以看到最后 [1:07] 给我一些支持 [1:09] 点赞收藏 [1:09] 数学启动 [1:14] 我们先来看一个简单的漏水游戏 [1:17] 想象一个方格网 [1:19] 每一条边独立的抛一枚 [1:21] 硬币来决定它会不会打开 [1:23] 打开的概率是p [1:24] 不打开的概率是1-p [1:26] 那如果这个边打开就可以流过水流 [1:28] 关闭就不行 [1:30] 现在我们从整张网的顶端往下倒水 [1:33] 问这个水能不能一路渗下来 [1:35] 从底端流出去呢 [1:36] 这个模型叫做渗流percolation [1:39] 当p很小的时候 [1:40] 打开的边稀稀拉拉 [1:42] 水走不了几步就会被困住 [1:44] 而当p接近于一时 [1:45] 几乎处处畅通 [1:46] 当然能流下来 [1:47] 这都不奇怪 [1:49] 但神奇的是中间所发生的事情 [1:51] 这个从不通到通的转变 [1:53] 不是缓慢渐进的 [1:55] 而是极其尖锐的 [1:57] 看看这个很大的方格 [1:58] 当每条边打开的概率是0.49时 [2:01] 整张网几乎一定流不通 [2:03] 而接着如果让每条边打开的 [2:05] 概率增大一点点到0.51 [2:07] 这个网络突然几乎一定能够漏水 [2:11] 所有剧烈的改变都压缩在1/2 [2:14] 这个点附近2%的概率变化中 [2:16] 是不是很神奇呢 [2:18] 在深入讲解这个突变的原理之前 [2:21] 我想先介绍一下 [2:22] 这个模型的普遍意义 [2:24] 它远不止一个会不会 [2:25] 漏水这么简单的数学题 [2:27] 而是无数真实问题 [2:29] 的共同抽象和缩影 [2:31] 比如说打疫苗追求群体免疫 [2:34] 我们就可以把每个点看成一个人 [2:36] 一个人如果打了疫苗 [2:37] 有了免疫力 [2:38] 他就不会被传染 [2:39] 也不会再传染别人 [2:41] 相当于关闭了他周围的连边 [2:43] 渗流的突变现象告诉我们 [2:45] 接种的比例只要大到一定程度 [2:48] 病毒就无法沿着人际 [2:49] 网络大规模的流通 [2:51] 所以我们不需要给所有人都打疫苗 [2:54] 啊森林防火也是一样 [2:55] 每个点代表一棵树 [2:57] 那火会沿着相邻树之间的连边蔓延 [3:00] 所以树木的密度一旦超过临界值 [3:03] 一颗火星就可能烧穿整片森林 [3:06] 而低于临界值 [3:08] 再大的火也只能烧掉一小片 [3:10] 所以护林员砍掉防火隔离带 [3:13] 本质上就是把森林的这个 [3:15] 连接性压到临界点以下 [3:18] 类似的结构也出现在石油开采里 [3:21] 油会藏在岩石的孔隙中 [3:23] 只有这些孔隙彼此连通 [3:25] 油才能被整片的抽出来 [3:28] 地质学的一个观察是 [3:29] 这种可渗透的岩石成分的 [3:31] 比例低于某个临界值时 [3:33] 油会被分割成许多互不连通的小块 [3:36] 而一旦越过了这个临界值 [3:38] 所有的油田就几乎一定会连成一片 [3:42] 这也是渗流问题最直接的应用之一 [3:45] 数学家把这样的位置 [3:46] 叫做critical point临界点 [3:49] critical这个词的希腊词根是krinein [3:52] 本意是判决抉择 [3:54] 所以critical的本意不是苛刻 [3:56] 而是审判 [3:57] 整个宏观状态在临界点附近 [4:00] 被非常微小的改变彻底反转 [4:03] 你肯定会好奇 [4:04] 凭什么在这个关键点的 [4:06] 判决刚好会落在1/2呢 [4:09] 又为什么这个判决 [4:10] 如此的干脆和截然 [4:12] 没有任何缓慢的过渡 [4:14] 其实在这样一个简单的模型里 [4:17] 藏着深刻普适的原理和哲学 [4:19] 它同样统治着投票传染病 [4:22] 和随机网络等一系列问题 [4:25] 我们先来看第一个问题 [4:26] 为什么正好是1/2呢 [4:28] 有人可能问 [4:29] 这还用问吗 [4:30] p=0全都是关上的 [4:32] p=1都是打开的 [4:33] 那模型对开和关又是完全对称的 [4:35] 那分界点当然应该在正中间1/2了 [4:38] 很可惜这个论证虽然听起来很显然 [4:42] 但其实是错的 [4:43] 我们可以把模型稍微改一下 [4:45] 让所有的边都存在 [4:47] 改成每个格点以p的概率开放 [4:49] 以1-p的概率堵死 [4:51] 水只能流经开放的格点 [4:53] 这个模型就叫做点渗流 [4:55] 它同样也存在着尖锐的相变 [4:58] 可是它的临界点不在1/2 [5:00] 而在0.5927左右 [5:03] 这个数字至今没有精确的表达式 [5:06] 只能数值计算 [5:08] 所以1/2这个分界点并不是 [5:11] 参数区间左右对称这么简单 [5:13] 而是来自于一种更深 [5:15] 的模型结构的对称性 [5:17] 它叫做对偶 [5:19] 具体来说 [5:19] 把每个小方格的中心 [5:21] 当成一个新的顶点 [5:22] 而相邻两个方格的 [5:24] 中心可以连一条新的边 [5:26] 你会发现每条新的边都恰好 [5:28] 和一条原来的边十字交叉 [5:30] 一一配对 [5:32] 对偶操作会因此把一种 [5:34] 网格变成另一种网格 [5:36] 正三角形网格的 [5:37] 对偶是正六边形网格 [5:39] 而反过来 [5:40] 正六边形网格的对偶 [5:41] 又回到三角形网格 [5:43] 它们互为对偶 [5:45] 而正方形网格有 [5:46] 一个独一无二的性质 [5:48] 那就是它的对偶还是一个 [5:50] 一模一样的正方形网格 [5:53] 只是整体平移了半格 [5:55] 正方形网格是自对偶的 [5:58] 那接下来就是关键的一步 [6:00] 我们规定如果原来 [6:02] 图中的一条边关闭 [6:03] 那么就把和它交叉 [6:05] 的那条对偶边打开 [6:06] 那反过来原图如果打开 [6:08] 对偶边就关闭 [6:09] 于是在原来的图中 [6:11] 一条边打开的概率是p [6:12] 而在对偶图中一条边 [6:14] 打开的概率就是1-p [6:16] 在原图里连通的线是水路 [6:18] 而在对偶图里连通的线是墙 [6:21] 所以原来图里的缺口刚好 [6:23] 是对偶图里你搭墙的砖块 [6:26] 原来的图和对偶图里 [6:27] 有一个有趣的事实 [6:29] 那就是要么在原来的图里 [6:31] 一条边能够从上到下走通 [6:33] 形成一条竖直的河 [6:35] 要么在对偶图里能从左到右走通 [6:38] 形成一堵水平的墙 [6:40] 这俩水火不容 [6:41] 而且一定至少发生一个 [6:44] 为什么呢 [6:44] 想想看如果能漏水 [6:46] 那么上下连通的这条河上所有的边 [6:49] 其相交的对偶边就全都没有了 [6:52] 这会导致整个对偶图被拦腰分开 [6:55] 变成左右两个不可能连通的部分 [6:58] 所以对偶图里的墙就不 [7:00] 可能从左到右一路贯通了 [7:02] 而反过来 [7:03] 如果从上到下不漏水 [7:05] 我们可以从上面倒水 [7:06] 把水所触及的区域的 [7:08] 下侧轮廓都勾勒出来 [7:11] 这个轮廓线从下方兜 [7:12] 住了水流无法下降 [7:14] 而这个轮廓正好全都 [7:16] 是由对偶边构成的 [7:18] 它们也因此正好垒成 [7:19] 了一堵从左到右的墙 [7:21] 所以我们知道有河就没有墙 [7:23] 而没有河就一定有墙 [7:26] 两者发生的概率加 [7:27] 在一起刚好等于1 [7:29] 好的精彩的地方来了 [7:31] 我们取一个横向是n格 [7:33] 纵向是n+1格的矩形 [7:35] 每条边打开的概率p设定为1/2 [7:38] 此时对偶图每条边 [7:40] 打开的概率就是1-p [7:42] 也等于1/2 [7:43] 这里严格观察你会发现 [7:45] 对偶图最左边和最 [7:47] 右边有一些孤零零的边 [7:49] 我们可以再加上一些多余的对偶边 [7:51] 它们打开的概率也是1-p [7:54] 之所以说多余 [7:55] 是因为这些边只是在最左 [7:56] 和最右的边界内部徘徊 [7:58] 对于能不能形成从左到 [8:00] 右的一堵墙没有作用 [8:02] 但补完这些边之后 [8:03] 把对偶边单独拿出来 [8:05] 再旋转90度 [8:06] 你发现了什么 [8:08] 没错它也是一个n×(n+1)的网格 [8:11] 跟原图一模一样 [8:13] 尺寸完全一致 [8:15] 每条边打开的概率1/2也完全一致 [8:18] 目标也完全一致 [8:20] 都是沿着长度n+1 [8:22] 的这边走到另一边 [8:23] 所以我们知道这两个图从上 [8:25] 到下贯通的概率是相等的 [8:28] 但是别忘了 [8:29] 前面我们说过 [8:30] 这两个概率还有另一个关系 [8:32] 那就是彼此互斥 [8:33] 相加等于一 [8:35] 一边能走通 [8:36] 另一边就一定走不通 [8:37] 那你想两个概率相等 [8:39] 相加又等于一 [8:40] 所以只可能都是1/2了 [8:42] 这个结论和n无关 [8:44] 对所有的尺寸都成立 [8:46] 这就是1/2的来历 [8:48] 它是模型和自己的对偶 [8:49] 镜像达成平衡的位置 [8:51] 点渗流的临界点之所以不是1/2 [8:54] 就是因为方格的点渗流不 [8:56] 具有这种自对偶的性质 [8:58] 仔细想想这件事情 [8:59] 本身很让人吃惊的 [9:01] 直觉上一个正方形越大 [9:03] 你贯穿需要打通的边越多 [9:05] 难度应该越高 [9:06] 在n超级大的时候 [9:08] 应该几乎不可能贯穿 [9:10] 可只要p=1/2 [9:11] 穿越的概率就定死在1/2 [9:13] 跟尺度n完全无关 [9:15] 多大的正方形都一样 [9:17] 事实上在p=1/2时 [9:20] 不只是正方形 [9:21] 任何固定长宽比的矩形都有 [9:23] 常数的概率被沿着长边一路贯通 [9:26] 再长的管子都会漏水 [9:28] 这个概率只依赖长宽比 [9:30] 和尺寸完全无关 [9:32] 具体的证明很有意思你看哈 [9:34] 比如说这个3:2的长方形 [9:37] 我们画出S这个小正方形 [9:39] 它有1/2的概率被一条路上下贯穿 [9:42] 再有1/2的概率左边的整个 [9:44] 大正方形R′能被左右贯穿 [9:48] 但是这条路有可能从上半部分穿过 [9:51] 也有可能从下半部分 [9:53] 和刚才S的通路相交 [9:55] 根据完美的对称性 [9:56] 只要乘一个1/2 [9:58] 它就一定是从下面穿过 [10:00] 和S的这个竖线相交成一个T字 [10:03] 那右边同理也会有1/8的 [10:06] 概率形成一个T字的形状 [10:08] 那最后再有1/2的概率S被左右贯穿 [10:12] 所以乘到一起以1/128的概率 [10:15] 刚才所说的一切都成立 [10:17] 于是我们就找到了 [10:19] 一条从左到右的通路 [10:21] 有了3:2这个比例的基本拼图 [10:24] 我们就可以拿好多个不断的延展 [10:26] 一个个往右重叠的拼起来 [10:29] 每个里面都有一个常数 [10:30] 概率产生一条往右走的路径 [10:32] 而在重叠的正方形区域又有1/2 [10:35] 的概率有一条竖直穿越的路 [10:37] 径把两边的路径都相交 [10:40] 然后整体串糖葫芦一样连起来 [10:42] 最后整体路径就能从 [10:44] 左边一路走到右边 [10:46] 而且这个概率会至少 [10:47] 大于一个有限的常数 [10:50] 所以现在我们就知道了 [10:51] 一旦p达到1/2 [10:53] 任何矩形区域都有概率会被水穿透 [10:56] 但更重要的问题是 [10:58] 这个判决为何如此精确和苛刻呢 [11:01] 为什么对于很大的网格来说 [11:03] 贯穿的概率不是随着p缓慢爬升 [11:05] 而是比1/2小一点点就几乎不可能 [11:09] 大一点点就几乎一定可以呢 [11:12] 想要理解为什么会突变 [11:14] 我们可以先看一个能完全 [11:16] 算清楚的最简单的例子 [11:18] 那就是投票 [11:20] 尖锐相变的原型就藏在这里 [11:22] 我们想象一下有N个人投票啊 [11:24] 超过一半的人赞成就算通过 [11:26] 每个人独立的以概率p会赞成 [11:29] 以概率1-p反对 [11:31] 你可以把p理解为一个舆论的风向 [11:33] p=0.5是均势 [11:34] p稍微大于0.5表示每个人 [11:36] 心里都有一点点倾向赞成 [11:38] 而小于0.5表示有一点点不赞成 [11:40] 现在问整个提案通过的 [11:43] 概率F(p)长成什么样子的 [11:46] 简单的排列组合公式会告诉你 [11:48] 它等于参数为p的二项 [11:50] 分布超过N/2的概率 [11:52] 把图画出来 [11:54] 你就会发现 [11:55] 当N越来越大的时候 [11:56] 这条曲线在1/2的附近就会越来越陡 [12:00] 当N大到一个全国性的投票的规模 [12:03] 它几乎就是一个台阶 [12:05] 比0.5小一点点就不通过 [12:07] 比0.5大于一点点投票 [12:09] 就几乎一定通过 [12:11] 为什么呢 [12:12] 我们可以设p=1/2+δ [12:14] 也就是每个人有δ [12:15] 那么一点点的倾向赞成 [12:17] 此时赞成票的总平均数 [12:20] 就是N/2+Nδ [12:22] 这个偏移的系统性是Nδ [12:25] 所以人数成正比的积累 [12:28] 但另一方面我们知道投票有随机性 [12:30] 所以它总会有一些随机涨落 [12:33] N个独立随机的这个硬币 [12:35] 它的涨落的幅度是 [12:37] 概率论里一个很基本的计算 [12:39] 那就是标准差等于√(N· [12:41] p·(1-p))≈√N/2 [12:44] 也就是说 [12:45] 这个随机的噪声只有√N的量级 [12:48] 那你想想看 [12:50] 平均数随着N线性的增长 [12:52] 但这个噪声波动的幅度 [12:54] 却只有√N的增长 [12:56] 所以两边会有一个打平的分界线 [12:59] 那就是δ≈1/√N [13:02] 所以只要人数的N远远超过 [13:04] 1/δ²的时候 [13:06] 这个偏移量δ [13:07] 就会显著的超过1/√N [13:09] 碾压了这个波动的噪声 [13:11] 所以投票通过就变成 [13:13] 了几乎必然的事情 [13:15] 换句话说就是多数 [13:17] 投票想要胜负难料 [13:19] p偏离0.5的程度只有 [13:21] 1/√N的量级 [13:23] 100万人投票 [13:24] 这个窗口只有1/1,000 [13:26] 1亿个人投票 [13:28] 窗口就只有1/10,000 [13:30] 这意味着1亿个人投票时 [13:32] p只要比0.5大1/10,000 [13:35] 这个提案通过的概率就已经有98%了 [13:39] 所以多数投票就让我们 [13:41] 能够看出一个突变的原型 [13:43] 那就是信号会随着人数的线性积累 [13:46] 而噪声却只按平方根增长 [13:49] 某种意义上 [13:50] 渗流也像一场复杂的投票 [13:52] 每条边都以概率p投 [13:54] 出赞成漏水的一票 [13:55] 而整个网格是否上下贯通 [13:58] 就是这场投票的宏观结果 [14:00] 只不过这个投票机制比多数 [14:03] 胜出的那个投票要复杂得多了 [14:05] 此时我们会研究宏观 [14:07] 事件的概率曲线F(p) [14:09] 它表示在每条边导通的概率为p时 [14:11] 一个n×n的网格被 [14:13] 水路上下贯通的概率 [14:15] 所谓突变尖锐 [14:16] 翻译成微积分的语言就是 [14:18] 在临界点附近 [14:19] F(p)的斜率F'(p)非常的大 [14:22] 斜率越大 [14:23] 从接近于0爬到接近于一所 [14:25] 需要的参数区间就越窄 [14:27] 所以我们想要证明这个 [14:29] 相变发生的非常尖锐 [14:31] 只需要证明在临界点附近的F'(p) [14:34] 有一个很大的下界就可以了 [14:36] 该怎么计算这个斜率F'(p)呢 [14:38] 要分析这件事 [14:40] 我们首先需要换一种采样的视角 [14:42] 之前我们说过 [14:43] 是每个边抛一枚独立的 [14:45] 正面概率为p的硬币 [14:47] 那现在我们换一种方式 [14:48] 每条边先各自独立均匀的 [14:51] 随机一个0-1之间的开关阈值 [14:54] 再把p当成一个全局的温度 [14:57] 当全局的温度p大于某 [14:59] 一条边的开关阈值时 [15:00] 这条边就打开 [15:01] 反之关闭 [15:03] 容易验证 [15:04] 对于每条边来说 [15:05] 打开等价于它一开始在0-1 [15:08] 随机的阈值会小于p [15:10] 那这个概率同样是p [15:12] 所以呢这两种采样是等价的 [15:14] 而且不同的边之间的 [15:16] 阈值明显相互独立 [15:17] 所以不同的边是否 [15:19] 打开依然是独立的 [15:20] 这和原来是完全相同的概率分布 [15:23] 那为什么我们要用这种 [15:24] 麻烦的视角来随机采样呢 [15:26] 因为这样会方便我们计算F的导数 [15:29] 对于同样一个已经采样 [15:31] 好每个开关阈值的网络 [15:33] 我们只需要把温度从p抬高到p+dp [15:37] 我们就同样得到了一个在 [15:39] p+dp概率下采样的局面 [15:42] 所以只需要采样 [15:43] 各种不同的开关阈值 [15:45] 并统计平均有多少比例的情况下 [15:48] 温度为p的网格不能漏水 [15:50] 但再加dp就能漏水 [15:52] 就可以得到这两种参数 [15:54] 下宏观漏水概率之差 [15:56] F(p+dp)-F(p) [15:59] 那现在的问题就聚焦于 [16:01] 什么样的局面会在 [16:02] 温度增加dp的时候 [16:03] 从不漏水变成漏水呢 [16:06] 那我们首先要证明一件事 [16:08] 在增加量dp很小的时候 [16:10] 任何开关阈值的情况都 [16:12] 只会额外多打开一条边 [16:15] 这是因为在我们整个调高的过程中 [16:18] 只有门槛刚好落在p和 [16:20] p+dp这个区间之内的边 [16:22] 才会在这一点点 [16:24] 升温的过程中被打开 [16:26] 这要求一条边的开关阈值恰好卡 [16:28] 在这段极窄的宽度dp的区间里 [16:31] 那这就像中奖一样 [16:33] 每条边中奖的概率只有dp [16:35] 所以两条边同时中奖的 [16:37] 概率就是dp²的量级 [16:39] 是高阶无穷小 [16:40] 在dp很小的时候可以忽略 [16:42] 所以我们可以认为温度增加dp [16:45] 基本上只会有增加 [16:46] 一条边打开的机会 [16:48] 那问题来了 [16:49] 什么时候一个局面增加一条边就 [16:52] 可以改变整个网格宏观漏水的情况 [16:54] 呢不难想到 [16:56] 当且仅当整个局面千钧一发 [16:58] 有这么一条边 [17:00] 它打开那么全局贯通 [17:02] 它关闭则全局不漏水 [17:04] 这种一夫当关的边 [17:06] 我们叫它关键边pivotal edge [17:09] 值得一提 [17:09] 一个局面可能有不止一条关键边 [17:12] 比如说这样的局面有两条 [17:14] 这样的局面有四条 [17:16] 这个时候只要有一个关键边中奖 [17:19] 整个局面就可以导通 [17:21] 所以每个开关阈值局面能够 [17:23] 贡献的导通概率的增加量啊 [17:26] 正比于这个局面关键边的数量 [17:28] 此时我们就可以写出 [17:30] 一个最基本的计算式 [17:32] 那就是对于任何一个局面来说 [17:34] 它能贡献的这个全局 [17:36] 漏水概率的增加量 [17:38] 等于关键边的数量乘以dp [17:41] 乘以这个局面出现的概率q_i [17:43] 再对所有的局面求和 [17:45] 我们就得到了宏观导通 [17:47] 概率的增加量F(p+dp)-F(p) [17:51] 那我们可以把dp提取出来 [17:53] 这相当于对每个局面求和 [17:56] 把这个局面的关键变量数量 [17:58] 乘以局面的概率加在一块 [18:00] 这么一个复杂的东西该怎么算呢 [18:02] 看起来挺复杂的 [18:04] 但你会发现 [18:05] 本质上我们在计算 [18:06] 一个二元组出现的概率 [18:08] 这个二元组包含 [18:09] 一个局面c和一条边e [18:11] 而且要求这条边e是 [18:13] 整个局面c的关键边 [18:16] 之前我们的计算 [18:17] 都是以局面为核心的 [18:19] 那就是对于每一个局面啊 [18:21] 统计一下它有几条关键边 [18:22] 然后把这个局面的 [18:23] 概率乘以关键边的数量 [18:25] 最后全部加到一起 [18:26] 得到整个宏观概率的增加量 [18:29] 那我们可以反客为主 [18:30] 固定一条边e [18:32] 看看包含这条边e [18:34] 的二元组有哪些 [18:35] 不难发现 [18:36] 那就是所有使得e是关键边的局面 [18:39] 按照概率加权求和 [18:41] 而这说白了其实就是e [18:43] 成为关键边的概率 [18:45] 那最后我们可以对于每条边 [18:48] 把它成为关键边的概率加起来 [18:50] 这同样对于所有的 [18:51] 二元组计算了这个求和 [18:54] 因此我们就知道原来的q_C n_C的 [18:57] 求和跟现在每条边成为关键边 [19:00] 概率的求和是完全相等的 [19:02] 再把dp除过去 [19:04] 让dp趋于0 [19:05] 就得到了一个极为 [19:06] 优雅和深刻的等式 [19:08] F'(p)等于所有的边在p的概率 [19:11] 下成为关键边的概率之和 [19:15] 这个公式非常有名 [19:16] 叫做Margulis–Russo公式 [19:18] 也就是说 [19:21] 宏观概率攀升的速度等于每一个 [19:24] 微观个体成为决定性关键的概率 [19:27] 总和 [19:28] 为了方便 [19:28] 我们之后把一条边成为 [19:30] 决定性关键变量的概率 [19:32] 称作它的主导机会 [19:34] 如果你比较好奇这个 [19:36] 公式的严谨证明是怎样的 [19:37] 你可以看一下现在屏幕上 [19:38] 所写出的这个证明过程 [19:44] 那么接下来我们将会证明两件事情 [19:47] 第一在渗流和很多类似的模型里 [19:50] 每一条边的主导机会都非常的小 [19:53] 而且小的很平均 [19:54] 这被称作民主性 [19:56] 第二个结论则是 [19:58] 整个视频哲学的核心 [19:59] 也是突变发生最深刻的地方 [20:03] 正是因为每条边的主导机会都很小 [20:05] 它们加在一起反而会很大 [20:08] 根据Russo公式 [20:10] 这立刻意味着F(p)的斜率非常的巨大 [20:13] 所以宏观结果会发生尖锐的突变 [20:15] 只要p增加一点点 [20:17] 整个局面就会一下子变得导通 [20:20] 那为什么呢 [20:21] 我们一条条来 [20:22] 首先为什么每条边成为主导 [20:25] 的关键边的机会都很小呢 [20:27] 根据定义 [20:28] 一条边e成为关键边 [20:31] 意味着这个局面恰好 [20:33] 卡在了一个刀刃上 [20:34] 这条边e打开 [20:36] 全局就导通 [20:37] 它关上全局就不会漏水 [20:39] 这意味着除了这条边之外 [20:42] 向上和向下已经各自连出了 [20:45] 一条通到上下边界的连续水路 [20:48] 就差e这一口气接上了 [20:51] 这也就是说 [20:52] 一条边想要成为关键边 [20:54] 要以它为中心 [20:55] 同时长出两条手臂 [20:58] 也就是原图里向上 [20:59] 和向下的两条水路 [21:02] 其实不只是水路哈 [21:03] 它必须也是横着墙的关键边 [21:06] 其实不只是水路 [21:08] 它的对偶边也必须 [21:09] 是横着墙的关键边 [21:11] 因为这个关键边会 [21:12] 决定全局漏不漏水 [21:14] 所以它必须长在对偶 [21:16] 图那个连绵的墙上 [21:18] 因此一条关键边的背后需要 [21:21] 四条连绵的长路手臂 [21:23] 那接下来我们就会看到 [21:25] 这个概率非常非常的小 [21:28] 当p不超过1/2时 [21:30] 我们可以以这条边为中心 [21:32] 套上一系列的同心环带 [21:34] 半径呢按1、3、9、27 [21:37] 3倍3倍的扩张 [21:39] 一共大约有log₃n层 [21:42] 像一个同心圆的箭靶 [21:45] 你想想看 [21:46] 一条水路想要延伸 [21:47] 到距离为n的地方 [21:49] 必须依次闯过每一层环带对吧 [21:53] 而我们将会证明 [21:54] 在每一层环带里 [21:55] 都可能出现一圈彻底 [21:57] 把它围死的对偶墙 [22:00] 这里有一个非常重要 [22:01] 而且反直觉的事实 [22:03] 那就是无论这个环带有多大 [22:05] 出现这样一圈墙的概率 [22:07] 都不低于同一个常数 [22:09] 跟这个尺寸完全无关 [22:11] 为什么呢 [22:12] 我们可以把一个环带拆开 [22:14] 它由4条长宽比是3:1的走廊拼成 [22:18] 因为每条边打通的概率p是小于1/2的 [22:22] 所以在对偶图里 [22:23] 一条边出现墙的概率是1-p [22:26] 是大于1/2的 [22:28] 而我们前面说过 [22:29] 如果p至少是1/2 [22:31] 那么无论是什么长宽比 [22:33] 这个矩形区域都有一个 [22:35] 常数的概率被直接穿透 [22:37] 只跟长宽比有关 [22:38] 所以以一个常数的概率 [22:40] 这四个走廊的对偶图都 [22:43] 被一条对偶墙穿透了 [22:45] 此时四条走廊里的 [22:46] 对偶墙就会从四方合围 [22:49] 成为一个出不去的牢笼 [22:51] 对于任何一个尺度 [22:52] 九宫格的外围一圈 [22:54] 出现这样一圈墙的 [22:56] 概率都至少是c⁴ [22:58] 是一个常数 [22:59] 这意味着闯过一关还有一关 [23:03] 你可以成功无数次 [23:04] 但只要有一次你被这一圈墙挡住 [23:08] 这个水路就再也出不去了 [23:10] 而每闯过一圈环路成功的概率都要 [23:14] 乘以一个固定的小于一的因子r [23:17] 一共是log₃n层 [23:19] 所以一路闯到底的概率 [23:21] 就不超过r^(log₃n) [23:24] 它是一个n^(-α)的形式 [23:27] 其中α=-ln r/ln 3 [23:30] 是一个正的常数 [23:31] 所以当p不超过1/2时 [23:34] 一条水路延伸到距离为n的 [23:37] 概率就会以n的幂律衰减 [23:39] 而我们前面说过 [23:41] 一条关键边必须要向上或者 [23:43] 向下延伸出长度至少为 [23:45] n/2的水路才能成为关键边 [23:49] 所以它的主导机会同样 [23:51] 不超过n^(-α)的量级 [23:53] 非常的渺茫 [23:54] 那追求严谨的小伙伴可能会说 [23:56] 不太对呀 [23:58] 这些走廊和通路都是有重叠区域的 [24:00] 不是完全独立的事件 [24:02] 四个角落的边会同时决定两个走廊 [24:05] 但好在一条走廊出现了墙 [24:08] 对于另一个走廊来说是帮忙的 [24:11] 这叫做正向事件 [24:12] 它们同时发生的概率甚至不 [24:15] 小于独立事件概率的乘积会更大 [24:18] 这个结论严谨的写出来 [24:20] 叫Harris正相关不等式 [24:22] 放在屏幕上 [24:23] 这也是我们前面证明任意长宽比的 [24:25] 矩形都有常数概率被贯穿的时候 [24:28] 可以任意叠加放置各种不同的路径 [24:31] 而概率不少于它们概率乘积的原因 [24:35] 你会注意到这些事件是并不独立的 [24:38] 顺便刚才这一番层层设卡的逻辑 [24:41] 也同时证明了p在小于等于1/2的时候 [24:44] 想要走出去极为困难 [24:46] 以趋近于一的概率 [24:48] 它外面某一层不能 [24:50] 连通的墙构成环带 [24:51] 把路给围死 [24:53] 这也就是说 [24:54] 在p小于等于1/2时 [24:56] 几乎所有点都只能 [24:58] 构成有限的连通区域 [25:00] 无法达到无穷远 [25:02] 而反过来 [25:03] 如果p大于1/2 [25:05] 那么对偶图里就会以1-p的概率 [25:08] 啊它就是不超过1/2的 [25:10] 墙就很难往左往右连成线了 [25:13] 所以对偶图里的 [25:15] 两条路线又很难形成 [25:16] 所以总而言之 [25:17] 在1/2附近 [25:19] 一条边总是很难成为关键边 [25:23] 那你可能会想 [25:24] 既然每条边的主导机会都很小 [25:27] 而F'(p)等于所有边主导机会的总和 [25:31] 这难道不是说斜率很小 [25:33] 系统很难突变吗 [25:35] 最深刻也是最反直觉的地方来了 [25:38] 事实是恰好相反的 [25:39] 因为每条边都不太重要时 [25:42] 这个主导机会的 [25:43] 总和反而会非常的大 [25:45] 如果一条边太重要 [25:47] 反而不会有尖锐的突变 [25:49] 想象有一个沙漏型的网络 [25:50] 啊上面一大片 [25:51] 下面一大片 [25:53] 中间只有一条独木桥 [25:55] 整个网络通不通 [25:56] 几乎完全就看这条桥的结果 [26:00] 它几乎总是关键边 [26:02] 而其他成千上万条边几乎总不是 [26:05] 这种局面在理论里 [26:06] 有一个直白的名字 [26:07] 叫做独裁dictatorship [26:10] 最极端独裁就是整个宏观 [26:12] 结果完全等于某一条边的状态 [26:14] 此时F(p)=p [26:16] 用投票来说就是整个结果只 [26:19] 取决于某一个人是赞成还是反对 [26:22] 此时F函数就是一条直线 [26:24] 斜率永远是一 [26:25] 无论系统多大 [26:27] 曲线都不会变陡 [26:28] 永远不会尖锐的突变 [26:30] 因为参数p的变化只能 [26:32] 通过这个说一不二的变量 [26:34] 连续按比例的传导到宏观结果上 [26:38] 而与之相反 [26:39] 如果成为关键边的机会被 [26:41] 平摊到了海量变量的头上 [26:43] 每一份都微乎其微 [26:45] 我们就说这个系统是民主的 [26:47] 多数投票就是民主的 [26:49] 每个人想要成为一票定胜负的关键 [26:51] 都需要其余所有的人恰好打成平手 [26:55] 这个概率同样是一个 [26:57] 1/√N的量级 [26:58] 没有谁很特殊 1994年 [27:01] 法国数学家Talagrand证明了一条不等式 [27:04] 把宏观概率攀升的速度和 [27:07] 主导机会的分散程度直接挂钩 [27:10] 这个不等式说 [27:11] 如果有一个宏观的结果F [27:13] 是一个相较于所有 [27:14] 微观变量单调的事件 [27:16] 而所有的微观变量又被 [27:17] 一个相同的参数p所决定 [27:19] 每一个变量成为关键因素 [27:21] 的主导机会都不超过δ [27:23] 那么在p这个位置 [27:25] F(p)所增加的速度就一定至少有 [27:28] log(1/δ)这么大的量级 [27:30] 这个公式告诉我们 [27:32] 如果每个微观变量的主导 [27:34] 机会都不超过一个很小的δ [27:37] 那么它们的总和 [27:39] 也就是F'(p) [27:41] 反而会达到至少log [27:42] (1/δ)的量级 [27:44] 你摊得越薄 [27:45] δ越小 [27:46] 这个总和反而会越大 [27:49] 那这里我们需要稍微解释 [27:50] 一下这个单调事件的含义 [27:53] 它指的是在任何局面下 [27:55] 把任何一个变量从0改成一 [27:57] 这个宏观结果只是会更加容易实现 [28:01] 比如说投票就是一个单调事件 [28:03] 任何一个人的意见从反对变成赞成 [28:05] 整个提案只会更可能通过 [28:07] 而不可能反而被否决 [28:10] 渗流也同样是单调事件 [28:12] 任何一条边从关闭到打开 [28:14] 整个网格只可能更加漏水 [28:15] 而不会变得不漏水 [28:17] 那回到渗流 [28:18] 上一章我们已经证明了 [28:20] 只要p在1/2附近 [28:22] 每条边的主导机会δ都 [28:24] 不超过n^(-α) [28:26] 那我们代入不等式 [28:27] log(1/δ)就至少 [28:29] 是α·log n [28:31] 因此我们就知道这个斜率的 [28:33] 下界会随着网格尺寸的对数增长 [28:37] 那数学上一个比较标准的收尾呢 [28:39] 是定义一个新的函数L(p) [28:41] 等于log[F(p)/(1-F(p))] [28:43] 那此时你会得到L(p)它的 [28:46] 导数是大于等于c·log n的 [28:49] 这个L叫做logit [28:50] 它把0-1之间的概率 [28:52] 拉直到整条数轴上 [28:53] 宏观导通的概率从0.01爬升到0.99 [28:56] 等价于L从-4.6爬到正4.6 [28:59] 要爬的高度是一个固定的常数 [29:02] 想想看 [29:03] 要爬升的高度是一个固定的常数 [29:05] 而我们刚才已经证明 [29:07] 随着n的增加 [29:08] 这个L函数的增长斜率至少是c·log n [29:11] 所以你需要上升的区间宽度 [29:14] 就不超过常数除以一个log n [29:16] 你可以把导通概率从99%提高到99.9% [29:20] 这在l的图像上相当于从 [29:22] 升高4.6×2变成升高6.9×2 [29:25] 还是常数除以log n [29:27] 结论不变 [29:28] 所以我们就知道 [29:29] 当这个网格越来越大的时候 [29:31] 漏水的概率从几乎不可能 [29:33] 翻转到几乎一定会漏水 [29:35] 所需要的参数变化 [29:37] 量不超过C/log n [29:39] 随着尺寸n的增大会收缩到0 [29:41] 因此整个系统会尖锐的突变 [29:44] 证明完毕 [29:46] 讲完整个证明 [29:47] 你可能还是意犹未尽 [29:49] 尖锐突变的全部秘密都压在这个 [29:51] Talagrand不等式的log(1/δ)上 [29:53] 了为什么每条边的主导机会越小 [29:57] 总和反而会越大呢 [29:59] 这个对数又是从哪里冒出来的呢 [30:02] 这是一个极为深刻的统计学问题 [30:04] 可以说它藏着这个世界 [30:06] 各种相变底层共有的秘密 [30:08] 而这个秘密就藏在一个 [30:10] 非常简单的求导原理里 [30:13] 考虑一个函数g(p)=p^k [30:16] 求导会得到k·p^(k-1) [30:19] 它可以进一步写成 [30:20] (k/p)·g(p)本身 [30:22] 而求导之后你就会发现 [30:24] 前面多出来的这个因子k恰好就是 [30:27] 把原来的函数g取log之后的量级 [30:30] 所以翻译一下就是 [30:32] 一个宏观事件如果 [30:33] 需要k个条件同时成立 [30:36] 那么概率就是k个因子相乘 [30:38] 如果这k个条件都被 [30:40] 同一个参数p决定 [30:41] 那么p每增大一点点 [30:43] 链条上每一个环节都 [30:45] 各自变得更容易同意 [30:48] 那么他们各自都为总概率 [30:50] 的增长做出了一份贡献 [30:52] 加在一块就是k份 [30:54] 就像立方体的边长 [30:55] 增加了一点点之后 [30:56] 三个方向会各自贡献 [30:58] 一份正比于原体积的增量 [31:01] 所以系数就是3，k维呢 [31:03] 就会乘以k [31:04] 这正是幂函数求导时 [31:06] 会出现一个系数k的来历 [31:08] 在渗流当中也是一样 [31:11] 一条边成为关键边 [31:13] 的门槛之所以苛刻 [31:14] 是因为它需要许多其他的边先 [31:17] 替它搭好向上和向下的水路 [31:21] 围好向左和向右的围墙 [31:24] 投票里一个人想要 [31:25] 成为那个决胜的一票 [31:27] 需要其余的人恰好打平 [31:30] 他们都有一个宏观结果 [31:32] 等于一长串条件同时成立 [31:34] 的p^k型的这种结构 [31:37] 看起来民主性把每个变量 [31:40] 的决定权稀释的微乎其微 [31:42] 可正是因为整个事件 [31:44] 此时依赖一条很长的链 [31:47] 链上其他的变量也在同一 [31:49] 过程当中被分到了主导机会 [31:52] 你想给定某条边x是关键边的局面 [31:56] 这就意味着 [31:57] 如果把视角切换到链条上 [31:59] 的其他的一个条件边y [32:01] 都可以对应出另外一个x存在 [32:04] 但y没有导通的y是关键边的局面 [32:08] 分散的过程并没有让 [32:10] 所有的主导机会消失 [32:12] 反而按照链条 [32:13] 乘k倍的增殖 [32:15] 而独裁意味着k永远等于一 [32:17] 参数只能影响一个环节 [32:19] 所以增速永远是常数 [32:21] 永远不会有突变 [32:23] 所以用一句话总结就是 [32:25] p^k的增长速度 [32:27] 大约是函数值的k倍 [32:29] 而k正是概率取对数之后的量级 [32:32] 这就是Talagrand的不等式里 [32:34] log(1/δ)的来源 [32:36] 也是相变的核心机理 [32:39] 不过需要说一点 [32:40] 我们刚才所证出来的这个窗口log n [32:43] 分之一的这个量级其实相当保守 [32:46] 真实渗流的这个 [32:47] 参数窗口和投票一样 [32:49] 是按尺寸的幂律收缩的 [32:52] 大约为n^(-3/4) [32:54] 比对数要窄得多 [32:56] 所以这其实我们追问一下 [32:59] 固定一个p小于1/2 [33:01] 一条水路延伸到距离n的这个概率 [33:04] 其实是以指数的速度衰减的 [33:06] 比我们证明的幂律要强得多 [33:08] 我们只是给出了一个下界 [33:10] 前面说过 [33:11] 只要p小于1/2 [33:13] 无论是小多少 [33:14] 从某一个点往外能走 [33:16] 到n这么远的距离 [33:18] 都是越来越难的 [33:19] 我们总能找到一个 [33:21] 足够大的有限盒子 [33:22] 它的尺寸是L [33:24] 使得从中心出发 [33:25] 沿打开的边连到盒子边界的 [33:28] 出口期望个数r严格小于一 [33:31] 这是很符合直观的 [33:33] 具体证明呢 [33:33] 我们这里不展开严谨的过程 [33:36] 好现在有了这个过程 [33:38] 我们就可以把整个平面按 [33:39] 厚度L切成一圈一圈的洋葱圈 [33:42] 想想看要走到第k圈外面 [33:45] 必须要先走到第k-1圈的外层 [33:48] 再穿透一层厚度为L的洋葱皮 [33:51] 而每一个停在第k-1圈的出口 [33:54] 往外再穿透一层所能创造的新出口 [33:57] 正是一个前面构造这个 [33:59] 盒子时所定义的事情 [34:01] 根据定义 [34:02] 从任何一个点出发 [34:03] 冲出一个厚度为L的盒子 [34:05] 出口的期望数都不超过r个 [34:08] 所以第k圈的出口期望不 [34:10] 超过第k-1圈出口的期望数 [34:13] 再乘以r [34:14] 那我们就可以重复迭代 [34:15] 啊第k-1圈的出口期望 [34:17] 数不超过k-2层乘以r [34:19] 那一步一步递推之后 [34:21] 每多一层出口的期望数就要乘以r [34:24] 因此你就会得到走出kL距离 [34:27] 的出口期望不超过r^k [34:30] 是一个指数的衰减 [34:32] 你看同样是一圈圈的设卡 [34:35] 为什么第五章前面只得到了幂律 [34:37] 而这里却可以得到指数的衰减呢 [34:40] 区别就在于这个关卡的密度 [34:43] 箭靶的环带是按照1、3、9、27指数扩张的 [34:47] 所以走到距离为n只 [34:49] 经过了log n道关卡 [34:51] 尺度是指数增长的 [34:52] 关卡就只有对数条 [34:54] 所以指数对指数 [34:56] 两者的函数关系就只是幂律 [34:58] 而洋葱每圈的厚度是固定的L [35:01] 所以走出距离n就要 [35:03] 闯过约n/L道关卡 [35:05] 这个关卡数量随着距离线性增长 [35:08] 而衰减相对于距离 [35:09] 就会成为指数的衰减 [35:12] 只需要p小于1/2 [35:13] 那么从任何一个点 [35:15] 出发的水流都寸步难行 [35:19] 接下来最有意思的来了 [35:21] p只要比1/2稍微大一点点 [35:24] 局面就会彻底反转 [35:25] 网格里几乎必然出现 [35:27] 一块无限大的连通块 [35:30] 为什么呢 [35:30] 前面我们已经证明过 [35:32] p等于1/2时 [35:33] 任何矩形都会有一个 [35:35] 正常数的概率被穿透 [35:37] 尖锐相变又告诉我们 [35:38] 斜率至少是c·log n [35:40] 所以只需要让p比1/2 [35:42] 大一个C/log n的常数 [35:43] 2:1的矩形沿长边贯通和正方形 [35:47] 贯通的概率都能任意接近于一 [35:50] 比如说 [35:50] 我们可以让它达到至少0.98的程度 [35:53] 把它记为i_n [35:55] 现在把2n×n的矩形整体 [35:58] 看成一块粗粒度的积木 [36:00] 取3块这样的横向积木 [36:03] 一块接着一块往右排 [36:05] 相邻的两块会各自叠 [36:06] 出一个n×n的正方形 [36:08] 这样三个矩形各自都有 [36:10] 至少i_n的概率被水平贯通 [36:13] 而两个重叠部分的正方形又 [36:15] 各自有至少i_n的概率被竖直贯通 [36:18] 前面我们说过 [36:19] 这些事件彼此帮忙 [36:20] 所以刚才所说的这所有事情 [36:23] 一起发生的概率至少是i_n^5 [36:25] 而5件事一旦同时发生 [36:27] 3条横路被两条竖路缝合 [36:30] 整个4n×n的长条就会 [36:32] 被从左到右贯通 [36:34] 那接下来我们可以再把两根4n×n的 [36:37] 长条上下摞成一个4n×2n的矩形 [36:40] 哎它恰好又是一个2:1的矩形积木 [36:44] 那接下来我们就可以来计算一下 [36:46] 这个大积木左右 [36:48] 贯通的可能性是多少 [36:49] 你会发现它更高了 [36:51] 因为上下的这两个4:1的长条 [36:54] 只要有一根打通就行了 [36:56] 两根长条不共享任何边 [36:58] 是互相独立的事件 [37:00] 它们各自没有被左右贯通的 [37:02] 概率最多只有1-i_n^5 [37:17] 代入上式 [37:19] 然后再利用这样一个1-i_n^5 [37:21] 的展开式≤5(1-i_n) [37:24] 我们就可以得到ε_{2n}会 [37:27] ≤25ε_n² [37:30] 翻译一下 [37:31] 这告诉我们 [37:32] 这个尺度每翻一倍 [37:34] 失败的概率就按 [37:36] 平方的速度急速下降 [37:38] 从一开始的0.02出发 [37:40] 那么失败的概率会依次 [37:41] 变成0.01、0.0025、0.00016、0.0000006 [37:48] 因此只要在某一个尺度上的 [37:50] 贯通已经是大概率事件 [37:53] 那么不断打包 [37:54] 这个越来越大的2:1的长方形被左右 [37:57] 贯通的概率就越来越接近于必然 [38:01] 那最后 [38:02] 我们可以把尺度为n、2n、4n这样的矩形 [38:06] 一横一竖的不断叠加 [38:08] 排成螺旋 [38:09] 每一块都以极高的 [38:11] 概率沿着长边贯通 [38:12] 而相邻的两块一旦都贯通 [38:14] 它的路径必然相交 [38:16] 所以所有这些贯通的边整体就 [38:19] 几乎必然的形成一个无限大的螺旋 [38:22] 变成一个无限大的连通块 [38:26] 所以你看 [38:27] p比1/2稍微小一点点 [38:29] 能够走远的概率就会指数衰减 [38:32] 变成一个一个的孤岛 [38:34] 但只需要比1/2稍微大一丁点 [38:36] 那么这个尺度越大 [38:38] 颗粒度越粗 [38:39] 反而更加必然的连通到无穷 [38:42] 这就是著名的Harris–Kesten定理 [38:44] 方格边渗流的临界点恰好等于1/2 [38:49] 刚才这段证明最妙的地方就是 [38:51] 把一个区域不断的打包成整体 [38:53] 忽略其内部细节 [38:55] 只看打包之后的参数 [38:57] 随着尺度怎么变化 [38:58] 然后不断的翻倍 [39:00] 不断的拉远镜头 [39:01] 直到问题在更大的尺度上原样复现 [39:05] 这个操作正是物理学里 [39:06] 大名鼎鼎的重整化renormalization [39:09] 也叫粗粒化 [39:11] 它本是量子场论里 [39:12] 处理无限大的技术手段 [39:14] 直到Kadanoff提出块自旋 [39:16] Wilson在70年代把它 [39:18] 锻造成了完整的理论 [39:20] 人们才认识到这是理解 [39:21] 相变一个非常深刻的钥匙 [39:23] Wilson也因此获得了1982年 [39:25] 的诺贝尔物理学奖 [39:27] 用刚才投票的例子就很好理解了 [39:30] 在多数投票中 [39:32] 如果每个人以p的概率赞成 [39:34] 现在我们每次把三个人的意见 [39:36] 按多数统一成一个小组意见 [39:39] 这个小组同意的概率是多少呢 [39:41] 啊不难看出 [39:42] 就是三个人都同意的p³ [39:44] 加上有两个人同意的 [39:46] 3p²(1-p) [39:48] 如果p大于1/2 [39:50] 那么这个3人小组同意的 [39:52] 概率就会比p更大一点 [39:54] 那反之同理 [39:55] 如果小于1/2就会小一点 [39:58] 那么接着 [39:59] 如果我们把3个3人 [40:00] 小组当成一个整体 [40:02] 按照每个小组的多数意见 [40:05] 决定这个二级小组的意见 [40:07] 此时这个二级小组同意的 [40:09] 概率就是把上一轮同意的 [40:11] 参数再次送入这个R(p)函数 [40:13] 此时大于1/2参数的概率会变得更大 [40:17] 反之同理 [40:18] 于是在不断打包迭代的过程当中 [40:21] 参数会越来越极化 [40:23] 最终变成只有全部同意全部 [40:26] 反对和极为精细的总是刚好 [40:29] 一半一半的三个不动点上 [40:32] 而一开始的初始参数 [40:34] 只要偏离0.5一点点 [40:36] 就会在迭代中不断的被推向极端 [40:39] 这正是重整化看破相变问题的奥秘 [40:42] 在不断打包的过程中 [40:43] 把原问题近似成更大 [40:45] 尺度上完全相同的问题 [40:48] 但这个时候参数会发生迭代 [40:50] 在不断迭代的过程当中 [40:52] 会让整个系统的特性 [40:53] 越来越明显和极化 [40:55] 在刚才的渗流里 [40:57] 这个迭代的映射就是i↦1 [40:59] −(1−i^5)^2 [41:01] 画出它的图像 [41:02] 你就会发现 [41:03] 初始参数一旦高于分水岭 [41:06] 迭代就会一路把它送向一 [41:08] 整个网格就会越来越必然的被导通 [41:11] 想想看 [41:12] 我们能感受到的宏观物质相对于最 [41:14] 微观的原子分子是天文数字的倍数 [41:18] 起手就是 [41:19] 阿伏伽德罗常数10^23的量级 [41:22] 所以在不断打包的重整化视角下 [41:24] 最终必然停靠在某 [41:26] 个稳定的不动点上 [41:28] 所有的尺度看到的景象和 [41:30] 宏观的表现都是一样的 [41:31] 再怎么放大缩小都会不变 [41:34] 正如投票那样 [41:35] 渗流也有两个最平凡的不动点 [41:38] 那就是全都是空的和全都是堵死的 [41:41] 当p比0.5稍大或者稍小时 [41:44] 我们可以每次把3×3的区域按照是否 [41:47] 上下连通打包成一个大的像素点 [41:50] 不断的迭代 [41:51] 一边越来越空 [41:52] 一边越来越堵 [41:54] 整个网格漏不漏水 [41:55] 就会变得越来越明显 [41:58] 与此同时 [41:59] 还有一个微妙的不动点 [42:01] 那就是临界点1/2本身 [42:03] 此时一次打包之后 [42:05] 这个新的大像素 [42:06] 它导通的概率依然是1/2 [42:09] 参数停在原地 [42:10] 系统没有任何一个特征的尺度 [42:13] 但它不是单调的一片 [42:15] 而是在任何尺度看下去 [42:17] 总是大大小小的连通块环环相扣 [42:20] 你把镜头拉远10倍或者100倍 [42:23] 整个画面所看起来的感觉毫无变化 [42:26] 它的统计量也没有变化 [42:29] 这种性质就叫做自相似 [42:31] 是一种分形式的存在 [42:34] 在磁铁里也有同样的故事 [42:36] 磁铁的微观模型叫做伊辛模型 [42:39] 每个格点设置一根小磁针 [42:41] 只能朝上或者朝下 [42:42] 它倾向于和周围的多数保持一致 [42:44] 但也有一定的概率不服从 [42:46] 不服从的概率由温度决定 [42:48] 温度越高 [42:49] 它就越随机 [42:50] 那我们同样可以把3×3的9根 [42:53] 磁针打包成一根超级磁针 [42:55] 它的方向呢 [42:56] 是按它最多数来决定的 [42:58] 然后不断重复 [43:00] 不断拉远 [43:01] 不断打包 [43:15] 而当高于居里点时 [43:17] 这个宏观磁性荡然无存 [43:19] 只剩下纯粹的噪声 [43:21] 任何尺度下 [43:22] 你都只能看到一堆乱七八糟的磁针 [43:25] 而恰好在居里点上时 [43:27] 我们会再次看到和 [43:28] 渗流一样的自相似 [43:30] 一切尺度上都翻涌着磁化的涨落 [43:33] 大大小小的磁畴团簇错落相套 [43:36] 怎么缩放都是同一幅景象 [43:39] 这种临界点上的自相似 [43:41] 甚至在肉眼就可以看见 [43:43] 把一管二氧化碳加压 [43:44] 到73个大气压附近 [43:46] 温度调到31摄氏度 [43:48] 上下的液气临界点 [43:50] 原本透明的流体会 [43:52] 突然变成一片乳白 [43:54] 这个现象叫做临界乳光 [43:57] 这正是因为在临界点上 [43:59] 分子会聚成 [44:00] 大大小小无所不包的团簇 [44:03] 会有各种各样不同 [44:05] 尺度的大大小小的一团 [44:07] 它的尺寸一路覆盖到 [44:09] 各种可见光波长的量级 [44:12] 所以各种波长的光都被强烈的散射 [44:15] 所以整管流体就泛出 [44:17] 这种神秘的乳白色 [44:19] 我们之前总是以为 [44:21] 想要看清一个东西 [44:22] 要凑得更近 [44:23] 我们要更高的分辨率 [44:25] 更多的细节 [44:26] 可是相变的故事恰恰相反 [44:29] 只有一步步退后 [44:30] 把格点打包成街区 [44:32] 街区打包成城市 [44:33] 两个世界的本质差异才会显形 [44:36] 这有点像股市 [44:38] 又像帆船的轨迹 [44:39] 凑近了看是杂乱无章 [44:41] 不断的扭曲和随机的涨落 [44:44] 而退远了看才能 [44:45] 看到整体隐藏的趋势 [44:48] 越看越粗 [44:49] 反而会越看越明 [44:51] 因为洗去的都是无关变量 [44:53] 留下的才是不动点 [44:55] 自然界处处有这样的现象 [44:57] 这又何尝不是我们的人生呢 [44:59] 好了以上就是这期视频的全部内容 [45:02] 制作实在是非常不易 [45:03] 如果你觉得这期视频内容有趣 [45:05] 学到了东西 [45:06] 还希望你能够点赞支持一下up主 [45:08] 我是漫士 [45:09] 一名毕业于清华姚班 [45:10] 的人工智能博士生 [45:11] 漫士沉思录 [45:12] 学海引路不辛苦 [45:13] 我们下期再会