OpenAI模型构造三维NS方程爆破解 触发学术优先权争端

OpenAI模型构造三维NS方程爆破解 触发学术优先权争端 AI通过逆向工程在数学上证明了光滑外力驱动下的NS方程存在有限时间奇点，但这仅暴露了连续介质假设在无限小尺度下的数学缺陷，并不动摇受分子离散本质约束的真实物理流体力学。 视频深入剖析了 OpenAI 利用上万个 AI Agent 耗费巨额算力，在光滑外力条件下成功构造出三维不可压缩 Navier-Stokes 方程有限时间爆破解这一历史性成果，该发现直接解决了千禧年大奖难题中的 C 与 D 判定分支。主讲人从流体连续介质假设与牛顿第二定律出发，层层推导出 NS 方程的数学形态，揭示了对流项平方级增长与三维涡拉伸诱发奇点的内在机制；随后重点拆解了 AI 将方程求解逆向翻转为几何设计、引入非对称坍缩参数 $h$ 构造细长涡核，并借助高频雷诺应力自发平衡外力发散的精妙反例结构。最后，内容辩证指出了数学连续介质奇点对真实物理工程世界的冲击极其有限，并客观梳理了学界针对无外力核心命题的审慎态度以及 AI 算力与人类学者之间的学术优先权争议。 OpenAI 宣布其内部前沿模型通过调用上万个智能体、并行计算 88 小时并消耗 1300 亿 Token，在光滑外力驱动下成功构造出三维不可压缩 Navier-Stokes 方程在有限时间内的爆破解反例。 (0:00) 该成果直接对应克雷数学研究所关于千禧年难题设定的分支 C 与 D，证明了在处处光滑有界且紧支的外力作用下，流体速度依然可在有限时间内发散至无穷大。 (21:33) AI 采用“逆向工程”策略，设计了多尺度异构收缩的“意大利面涡核”，并利用雷诺应力与高频脉冲在交界缝隙中自发输运角动量，确保外力残差处处光滑有界。 (27:26) 数学爆破解源于宏观连续介质与不可压缩假设，对真实工程物理影响甚微，因为极小尺度下流体将受离散分子结构、有限声速及非牛顿效应制约。 (33:45) 成果公布引发学术优先权与数据争议，纽约大学学者 Buckmaster 质疑 OpenAI 是否间接利用了其前期的对话记录，而无外力孤立系统的终极光滑性问题仍未解决。 (35:50)

OpenAI 宣布其前沿模型通过调用上万个智能体，在三维不可压缩 Navier-Stokes（NS）方程中构造出光滑外力驱动下的有限时间爆破解，攻克了克雷数学研究所千禧年大奖难题的 C 与 D 分支，但无外力孤立系统的光滑性终极问题依然未决。 千禧年命题判定与非线性增长危机 (13:20) 克雷数学研究所设立的 NS 方程千禧年难题包含 A、B、C、D 四个分支，其中 A 与 B 要求在无外力（f=0）下证明存在全局光滑解，而 C 与 D 则允许在具有光滑有界外力的条件下寻找有限时间发散的奇异解（爆破解）。NS 方程的对流项具备平方型非线性，本质上面临自我放大与线性粘性耗散之间的博弈；陶哲轩在 2014 年针对平均化方程的证明进一步指出，依靠能量守恒等全局先验估计无法排除奇异点的产生。 反例逆向设计与意大利面涡核构造 (21:33) 正向求解偏微分方程极其困难，AI 采取了“几何设计”思路：先构建有限时间内流速发散的速度场 u，再将代入 NS 方程产生的残差定义为所需外力 f，核心难关在于确保该残差外力处处光滑、有限且紧支。构造的核心采用了绕轴旋转并剧烈拉伸收缩的“意大利面”涡核；为打破无外力下自相似爆破不可能的数学限制，构造引入了微小指数 h（0 < h < 1/100），使半径按 τ^(1/2) 收缩、高度按 τ^(1/2 - h) 收缩，产生强烈的非对称坍缩和局部剪切。 雷诺应力自发驱动与多尺度脉冲级联 (27:26) 针对涡核与外部静止区域接缝处的外力发散，AI 引入了类似海浪沿岸输运的雷诺应力机制，利用接缝环形区内的局部速度高频振荡，在宏观平均速度为零的前提下自发向外输运角动量，从而对消外力差值。这些微观脉冲的初始振幅极弱（e^(-cn^2) 级别），随后被背景剪切不稳定性迅速放大数倍，最终被粘性耗散平息；多层脉冲序列在不断缩小的时空尺度上逐级修补误差，实现了外力全程光滑且有界的有限时间爆破。 数学连续模型与微观物理真实的分野 (33:45) NS 方程的数学爆破并不等同于经典流体力学在工程物理上的失效。该数学反例依赖于流体无限可分、声速无穷大以及线性粘性的连续介质假设；当涡核收缩至分子间距或平均自由程尺度时，连续场假设便会崩溃，必须由分子动力学接管，同时实际流体还受局部可压缩性、非牛顿流变及相对论光速上限的物理约束。因此，该成果属于纯数学领域的结构性突破，对航空航天和气象数值计算等现有应用没有直接冲击。 学术脉络演进与技术优先权争议 (35:50) 这一反例建立在近年学术积累之上，包括 2022 年 Albritton 等人的弱解构造、2023 至 2024 年 Córdoba 团队的多尺度修正框架，以及 2026 年 Buckmaster 与 Alpöge 借助大语言模型在带外力欧拉方程上的工作。克雷数学研究所于 2026 年 9 月 11 日审慎表态该分支“看似已被解决”，OpenAI 则声明不申领 100 万美元奖金；围绕研发过程中的数据使用和成果优先权，Buckmaster 团队与 OpenAI 目前仍在沟通协商中。 该成果通过外力构造证实了特定条件下奇异点的存在，但流体力学的核心孤峰——在无外力（f=0）孤立系统中流体自身非线性演化能否自发产生爆破，依然有待数学界给出终极解答。

[0:00] 主讲人: 数学启动！ [13:20] 主讲人: 在有限的时间里耗尽了全部的未来 [17:58] 主讲人: 凡是仅依靠能量守恒或全局先验估计等泛化手段的证明路线，全都是无法到达终点的死路。 [21:33] 主讲人: 如何设计一个能冲向无限大、但倒推算出的残差外力 f 却自始至终处处光滑且有界的速度场？ [27:26] 主讲人: 不要让它是外力，而是让流体凭借自身的内部微观运动，自发将这个力“生”出来。 [33:45] 主讲人: 工程物理与实际应用完全不必恐慌，这主要是纯粹数学体系内部的地震，对真实物理世界的冲击微乎其微。 [35:50] Luis Silvestre: 克雷设立的特定选项算是被解开了，但流体力学真正的终极硬核——无外力（f=0）孤立系统下流体仅凭自身非线性演化能否自发产生奇点——仍然是一座耸立的未解孤峰。 [35:50] 主讲人: 人类科普与理解前沿数学的速度，竟然破天荒地开始跟不上人工智能攻克难题的狂飙步伐。

[0:00] 这一天终于还是来了 [0:01] AI 解决了人类最难的一批数学问题 [0:04] 千禧年大奖难题里的 [0:06] Navier-Stokes 方程问题 [0:08] 美国时间 2026 年 9 月 8 日 [0:10] OpenAI 发布了一篇文章 [0:12] 声称他们最新的内部 [0:13] 模型调用了上万个 agent [0:15] 运行了 88 个小时 [0:16] 消耗了 1300 亿输出的 token [0:19] 上千万美元之后 [0:20] 最终找到了流体力学经典的 [0:23] Navier-Stokes 方程在有外力 [0:25] 条件下有限时间内的爆破解 [0:28] 你现在可能还听不懂 [0:29] 但没有关系 [0:30] 听完这期视频你就会 [0:31] 明白它为什么重要 [0:33] 到底有多难 [0:34] AI 这次解决 NS 方程的 [0:36] 分量到底有多大 [0:37] 以及 AI 大概是怎么构造 [0:40] 出这个问题的反例的 [0:41] 视频比较长 [0:42] 但真的很干货 [0:43] 希望你能看到最后支持一下 [0:45] 点赞收藏 [0:46] 数学启动 [0:51] 我们每天都会泡在流体里 [0:53] 空气和水都是流体 [0:55] 血液也是流体 [0:57] 因为会流动 [0:58] 所以它们的演化纷繁复杂 [1:00] 变幻莫测 [1:01] 搅一杯咖啡 [1:02] 牛奶会拉出一条条卷曲的丝 [1:05] 把一根香烟立在没有风的房间里 [1:08] 烟柱先是笔直向上升 [1:10] 升到某个高度会突然散成一团乱麻 [1:13] 风吹过电线 [1:14] 电线会呜呜的唱歌 [1:16] 海岛下风处的云会排成 [1:18] 一串左右交替的漩涡 [1:20] 绵延几百公里 [1:22] 就像研究形状不变 [1:23] 的小球和滑块一样 [1:25] 我们也可以研究这些流动的流体 [1:27] 这门学科就是无数工科生 [1:29] 大二都会学到的流体力学 [1:32] 不必被名字吓到 [1:33] 流体力学是 19 世纪的物理 [1:35] 那时候的物理相对来说还挺简单的 [1:38] 接下来我们讲完 [1:38] 你就会发现 [1:39] 本质上就是简单的牛顿运动定律 [1:42] 流体力学有个非常基础的假设 [1:45] 那就是它是一个连续的场 [1:47] 这里没有分子 [1:48] 只有无限精度的流体 [1:50] 在任何一个时刻 t [1:52] 任何一个位置 x [1:53] 都会有一个速度 u [1:54] (x,t) [1:56] 它是一个关于位置和时间的函数 [1:58] 你可以想象在流动的 [1:59] 水面上撒一把细碎的粉末 [2:02] 任何一个 t 的瞬间定格 [2:04] 我们可以观察每个 [2:05] 位置的粉末往哪个方向 [2:07] 以多快的速度漂 [2:09] 这就是那个位置的速度 [2:11] 每个位置都有自己各自不同的速度 [2:13] 所有的速度拼在一起就 [2:15] 形成了一个速度场 velocity field [2:19] 只不过这些速度不能随便乱设置 [2:21] 那样会违反基本的物理定律 [2:23] 那我们接下来介绍的这个 [2:25] Navier-Stokes 方程里 [2:26] 就有一个重要的前提 [2:28] 随便选一个很小的区域 [2:30] 比如说这个小正方形 [2:32] 那么任何时刻流进去的流体 [2:34] 总量需要总是等于流出来的总量 [2:37] 这是因为流体是不可压缩的 [2:39] 这个小格子里必须 [2:41] 总是有相同总量的流体 [2:43] 你流出去多少就必须进来多少 [2:46] 数学上这有一个专业且简洁的写法 [2:49] 叫做 u 的散度是 0 [2:52] 散度这个东西 [2:52] 学过多元微积分的同学比较了解 [2:54] 那给不懂的观众解释一下 [2:56] 在一个场里啊 [2:57] 我们可以关注这样一个小方格 [3:00] 流体会从四面八方进入和出去 [3:02] 如果左边的水平流速慢 [3:04] 右边稍快 [3:05] 那么在水平方向上 [3:07] 这个格子就会入不敷出 [3:08] 方格内部的流体总量减少 [3:11] 那竖直方向同理 [3:12] 如果上方往上的流速较慢 [3:14] 而下方往上较快 [3:16] 那么竖直方向就会进入流体 [3:19] 我们要求任何小 [3:20] 格子总是收支平衡的 [3:22] 也就是流入总是等于流出 [3:24] 或者说总流出总是等于零 [3:27] 这个总流出的速度 [3:28] 我们刚才计算时已经说过了 [3:31] 水平方向流出的速度等于右边的 [3:34] 水平速度减去左边的水平速度 [3:36] 为什么只看水平速度呢 [3:38] 因为在一定时间内 [3:40] 流入这个方格的水流啊 [3:42] 它是一个平行四边形 [3:44] 它的流入量正比于面积 [3:45] 而这个面积它的高仅仅 [3:48] 跟左边的水平速度有关 [3:50] 那同理竖直方向上则是上面的竖直 [3:54] 速度减去下面的竖直速度 [3:56] 在尺寸无限趋近于 0 时 [3:58] 就分别变成这个流速场 u 的速度 x [4:02] 分量对 x 求导和 y 分量对 y 求导相加 [4:06] 这就是散度的表达式 [4:08] 我们要求它等于 0 [4:10] 虽然我们分析的是一个很小的 [4:12] 正方形在尺寸趋于 0 的极限 [4:14] 但最终的结果是针对一个点的 [4:17] 所以只要每个点都 [4:19] 满足散度等于 0 的条件 [4:21] 那么任意形状的小 [4:23] 区域把它们拼到一块 [4:25] 公共的边界就会相互抵消 [4:27] 最后就是整个区域 [4:28] 的边界出入平衡了 [4:30] 流体不生不灭 [4:31] 只是在不同的位置被搬运 [4:34] 这个假设大体上来说没什么问题 [4:36] 但也不是完美的 [4:37] 因为绝对的不可压缩 [4:39] 意味着一点突然的振幅就 [4:41] 可以瞬间沿着整个流体传递 换言之 [4:45] 在这种流体里声速是几乎无限大 [4:48] 这显然是不合理的 [4:50] 流体还是有一定的压缩性 [4:52] 这也是激波等现象出现的重要机理 [4:55] 只不过在相对比较温和 [4:57] 缓慢的短时间流体运动来说 [4:59] 这个约束还是非常合理的 [5:01] 接下来我们来扮演上帝 [5:03] 模拟整个世界的运行 [5:05] 如果我们知道某 [5:06] 一个时刻的流速场 u [5:08] 很短时间 Δt 之后 [5:10] 它会按什么规律来变化呢 [5:12] 这个问题看起来很复杂 [5:14] 因为平面上每一个 [5:15] 点都有自己的流速 [5:17] 而不同的流速之间还会有 [5:18] 非常复杂的力学相互作用 [5:21] 但其实这就是一个简单的 [5:23] 牛顿力学的受力分析 [5:25] 取一团很小的流体局部 [5:28] 它的体积是 dV [5:29] 那么这一小块的质量 m [5:30] 就是它的密度乘以体积 ρdV [5:34] 当它受到一个合外力 F 时 [5:35] 会有加速度 [5:36] 因此就有 F = ma [5:38] 这就是牛顿第二定律 [5:40] 其实 NS 方程底层啊 [5:42] 就是这么一个牛顿定律的意思 [5:44] 只不过呢 [5:44] 它对这个空间的每一个点都成立 [5:47] 空间的每一个点有各自的外力 F [5:49] 因此也有着各自不相同的加速度 a [5:53] 我们先来看这一小团 [5:54] 流体速度瞬间的变化量 [5:57] t 时刻它在原来 x 的位置 [5:58] 所以速度是 u(x,t) [6:00] 到了 t+dt 的时刻 [6:02] 它的位置变化了 dx [6:03] 变成 x+dx [6:05] 根据速度场的定义 [6:06] 此时这一小团水的速度就是 u(x+dx, [6:11] t+dt) [6:12] 这个过程中速度变化量是 u(x+dx, [6:16] t+dt) − u(x,t) [6:17] 把它再除以 dt 时间 [6:19] 就得到加速度 a [6:21] 好了问题来了 [6:23] dx 到底是多少 [6:24] 我们又该如何计算这个差呢 [6:26] 我们可以在中间搭一个桥梁 [6:28] 那就是 x 这个位置在 t+dt 时刻的速度 [6:31] u(x, t+dt) [6:33] 先减掉再加上它 [6:35] 整个差一共变成两项 [6:37] 先看后面这项 [6:39] 它是 x 不变 [6:40] 做差比较的是很短的时间 dt 之后 [6:42] 同样的位置区域 x 里 [6:44] 流体速度的变化 [6:46] 这个在 dt 很小的时候写成 ∂u/∂t [6:50] 它和求导的 d 啊差不多 [6:52] 但是因为 u 是一个 [6:53] 依赖多个变量的函数 [6:54] 位置和时间 [6:56] 这里只对时间求导 [6:58] 在几何意义上理解 [6:59] 就相当于在这个多元函数的曲面上 [7:02] 固定某个坐标是定值 [7:04] 用得到一个平面 [7:05] 与曲面相截得到一条函数曲线 [7:08] 再在这根曲线上求导 [7:10] 这被称作偏导数 [7:12] 所以呢这类方程也被称作偏 [7:14] 微分方程 partial differential equation 简称 PDE [7:18] 那还有一项 [7:19] 这一项时间相同 [7:21] 都是 t+dt [7:22] 也就是过了一小段 [7:23] 时间的同一个瞬间 [7:25] 只不过现在我们考察的是 [7:26] 在那个时刻 [7:28] 这一小团水所在的 x+dx 位置的速度 [7:31] 比这时的出发点 x 的速度差了多少 [7:35] 我们先来解决一个小问题 [7:36] dx 是多少呢 [7:38] 因为 dt 这段时间很短 [7:40] 所以我们可以认为 [7:41] 在这一小段时间内 [7:42] 小流体是匀速前行的 [7:44] 那速度正是一开始的速度 u(x,t) [7:48] 所以 dx 呢也就等于 u(x,t) 乘以 dt [7:51] 代入一下 [7:52] 这个分子就变成了 u(x+u [7:54] ·dt, t+dt) − u(x, t+dt) [7:57] 啊这么个复杂的东西该怎么算呢 [8:00] 注意在同一个时刻的整片流场里 [8:03] 如果你放大进入局部 [8:05] 就会发现其实速度场的变化很平滑 [8:08] 这跟放大进入函数的局部 [8:10] 什么函数都跟直线一样 [8:12] 是同样的道理 所以 [8:14] 当我们沿着任何一条直线段移动时 [8:16] 就会发现速度会稳定线性的变化 [8:20] 不断匀速加上某个方向的向量 [8:22] 那么我们只需要把 dx [8:24] 分解成横纵坐标的位移 [8:26] 再看看沿着这两个坐标轴 [8:28] 速度会分别怎么匀速变化 [8:30] 加到一块就行了 [8:32] 线性代数比较好的 [8:33] 观众就会注意到啊 [8:34] 这其实就是速度场 u 求 [8:36] 雅可比矩阵 Du 之后 [8:37] 再乘以这个输入向量 [8:39] dx = u·dt 的结果 [8:41] 把分母上的 dt 约掉 [8:43] 整体在符号上就记为先对 u 求梯度 [8:46] 再沿着 u 的方向内积 [8:49] 好 费了这么大的功夫 [8:50] 我们终于搞清楚了 [8:52] NS 方程左边的两项其实就是 [8:54] 想说任何一小团流体的加速度 [8:58] 这个也叫做物质加速度 [9:00] 那右边的这三项自然就是 [9:02] 这个流体所受到的力了 [9:04] 它一共有三项 [9:05] 第一项是压强的梯度力 [9:07] 如果这团流体一边压强大 [9:09] 一边压强小 [9:10] 那么它就会受到一小股推力 [9:13] 这就是导致流体流动的重要原因 [9:16] 我们在这里又看到 [9:17] 了这个倒三角符号 [9:18] 它读作 nabla [9:19] 含义是求梯度 [9:21] 你可以把不同的 [9:22] 位置压强想象成海拔 [9:24] 那么整个场就变成了高低起伏地形 [9:27] 在每一个位置都会有一个方向 [9:30] 沿着它移动相同的距离 [9:32] 高度上升最快 [9:33] 这就是这个压强地形图的梯度向量 [9:37] 局部越陡峭 [9:38] 这个梯度向量就越大 [9:40] 将梯度取反 [9:41] 就可以得到推着 [9:43] 这个点流体移动的力 [9:45] 如果流体完全不受外力 [9:47] 又光滑没有粘性 [9:49] 那么现在的方程就 [9:50] 足以描述流体的运动了 [9:52] 这个方程也有响当当的名字 [9:55] 那就是欧拉方程 Euler Equation 有了它 [9:59] 我们就可以一帧帧的模拟整个世界 [10:02] 某一个时刻 t [10:03] 整个空间内的速度场是 u [10:05] 我们可以根据压强 [10:06] 泊松方程算出压强场 [10:09] 接着算出每个点所受到的力 [10:11] 经过一个极小的时间间隔 [10:14] 让每个局部的流体沿着 [10:15] 当前的速度移动一小段 [10:17] 同时速度会因为受 [10:19] 力发生微小的改变 [10:20] 这就会得到一个新的速度场 [10:23] 不断重复 [10:24] 我们就能用数学计算的方式 [10:26] 模拟出自然界流体的演化 [10:29] 只不过如果只是这样的方程 [10:31] 还是会有不现实的地方 [10:33] 比如说一个简单的漩涡 [10:34] 它将永远这样旋转起来 [10:36] 不会停下 [10:37] 这正是因为我们假设 [10:39] 这个流体是没有粘性的 [10:41] 所以能量不会有任何的耗散 [10:43] 实际的流体 [10:44] 会在运行中受到摩擦 [10:46] 渐渐停下来 [10:47] 想象一下有两层水流 [10:49] 一层速度快 [10:50] 一层速度慢 [10:51] 那么它们就会发生相对摩擦 [10:53] 对于经典的牛顿流体 [10:54] 摩擦力正比于两者的速度之差 [10:57] 这就是流体的粘性 [10:59] 不同的流体会有不同的粘性强度 [11:01] 用一个系数 ν 表示 [11:03] 比如说蜂蜜的粘性 [11:04] 系数就要比水大得多 [11:07] 在局部一小团流体和周围 [11:09] 所有流体的相对速度就 [11:11] 可以写成一个正三角形 [11:13] 它叫做拉普拉斯算符 [11:15] 衡量的是某一个点的速度相较于它 [11:18] 周围一圈相邻速度的平均差了多少 [11:22] 除了压强梯度带来的 [11:23] 压力和流动的黏滞阻力 [11:26] 有时我们还会考虑环境的外力 [11:28] 比如说重力或者人为的搅动 [11:31] 把这些一起写入到 [11:32] 一般的外力函数 F 中 [11:34] 现在的方程就把流体里 [11:36] 所有的要素都考虑了进去 [11:39] 没错这就是大名鼎鼎的 [11:41] Navier-Stokes 方程了 [11:43] 有了这个方程 [11:44] 我们就可以模拟整个世界 [11:46] 每次根据当前的流速和方程 [11:49] 计算一下很短之后的 [11:50] 下一个时刻流速的场 [11:53] 再在下一个时刻 [11:54] 根据流速场模拟它的演化 [11:56] 如此不断迭代 [11:58] 就运行起了整个 [11:59] 流体力学的仿真模拟 [12:02] 这样说完你就会发现 NS [12:03] 方程其实本质上很简单 [12:06] 就是一个局部微元的牛顿力学 [12:08] 但作为比电灯泡还古老的学科 [12:12] 流体力学却是今天 [12:13] 物理学搞不定的领域之一 [12:15] 据说费曼就曾经说过 [12:17] 湍流是经典物理学里 [12:19] 最后一个还没有解决的问题 [12:21] 为什么会这么难呢 [12:23] 因为这个看似简单的偏微分方程 [12:25] 真的在电脑里运行迭代起来 [12:28] 其中蕴含了无穷无尽的复杂变化 [12:31] 各种不稳定现象和混沌层出不穷 [12:35] 比如说当水平的层流吹过一个圆形 [12:38] 引入了黏滞系数之后 [12:40] 就会在尾部出现来回摇摆的现象 [12:43] 摆出正正反反整齐的漩涡 [12:46] 这种漩涡在真实世界里比比皆是 [12:48] 这就是卡门涡街 [12:51] 再比如说 [12:52] 让一团流体突然穿过一个圆孔 [12:54] 会自动卷成一个烟圈 [12:57] 两个烟圈追逐还会互相穿越 [13:00] 把入口的速度调高一点 [13:01] 流动会从整齐的层流 [13:03] 突然崩溃成为湍流 [13:06] 就像烟柱在半空当中散掉 [13:08] 乱掉一样 [13:10] 事实上 [13:10] 飞机设计 天气预报 血管里的血流 [13:14] 工程师们天天解的 [13:16] 都是这个流体力学方程 [13:20] 现在我们了解了 NS 方程到底是什么 [13:22] 知道它为什么复杂 [13:24] 又可以模拟各种流体力学的现象 [13:26] 那接下来就进入正题 [13:27] 那就是千禧年大奖 [13:29] 难题 NS 方程的光滑解 [13:32] 啥叫光滑解呢 [13:33] 大白话说啊 [13:35] 就是这个流体的演化过程是不是 [13:37] 可以一直用这个方程良好的描述 [13:40] 会不会到某一个瞬间 [13:41] 这个方程突然自己坏掉 [13:43] 在某一个点搞出了无穷大的速度 [13:46] 精确一点来说 [13:47] 光滑解就是一个处处有定义 [13:49] 处处可以求导 [13:50] 想求多少阶导都可以的速度场 [13:53] 物理上讲就是速度处处有限 [13:56] 变化平缓 [13:57] 没有任何一点的速度是无穷大 [14:00] 爆破 blow up [14:01] 就是光滑解在某个 [14:03] 有限的时刻崩溃了啊 [14:05] 某个地方的速度或者速度的 [14:06] 变化率在那一刻冲向了无穷 [14:09] 有一个最简单的例子可以 [14:10] 帮我们理解什么是光滑解 [14:12] 什么是爆破解 [14:13] 我们知道 [14:14] 如果一个函数求导等于自己 [14:16] 那么它就是 k 乘以 e 的 x 次方的形式 [14:19] 那如果我们把导数等于 [14:21] 自己改成等于自己的平方 [14:23] 再设置初始值为 1 [14:25] 这是什么函数呢 [14:26] 你可能会觉得 [14:27] 哎呀不就是增长的速度快了一点吗 [14:30] 原来函数值为 2 的时候 [14:31] 斜率是 2 [14:32] 现在改成 4 罢了 [14:33] 但是这个函数就是 [14:35] 一个经典的爆破解 [14:37] 如果你模拟它的过程 [14:38] 就会发现 [14:39] 它会在自变量接近于 1 的时候 [14:42] 猛然爆炸到无穷大 [14:44] 然后在 x = 1 这个位置 [14:46] 变成没有定义的奇点 singularity [14:50] 用一些简单的微分方程的 [14:52] 方法可以理解发生了什么 [14:53] 把 dy 和 y² 合到一起 [14:55] dx 放到一边 [14:57] 两边各自积分 [14:58] 你会发现一边是 −1/y [15:00] 一边是 x 减去一个常数 C [15:02] 所以我们就得到了 [15:03] 函数形式是 1/(C−x) [15:07] 代入 x = 0 [15:08] y = 1 [15:08] 你就会知道 C = 1 [15:10] 所以这个函数其实 [15:12] 就是 1/(1−x) [15:14] 在 x = 1 这个位置爆破了 [15:16] 英文术语叫 blow up [15:18] 炸了 很形象对吧 [15:20] 一旦爆破 [15:21] 就意味着数字达到了无穷大 [15:23] 原来的方程失效了 [15:25] 无法继续向下延伸 [15:27] 而不爆破就称作光滑解 [15:30] 顾名思义 [15:30] 就是没有突然的尖刺爆炸到无穷 [15:34] 数学家们关心 NS 方程 [15:36] 会不会也存在爆破的情况 [15:38] 还是说我们可以证明 [15:40] NS 方程会是光滑的 [15:42] 从这个小例子我们就可以看到 [15:44] 当增长的速度正比于 y [15:46] 的平方而不是 y 本身时 [15:48] 系统就会在有限的 [15:49] 时间里耗尽全部的未来 [15:51] 而 NS 方程恰好有这个结构 [15:54] 里面的非线性项是速度乘以速度 [15:56] 也是平方型的 [15:57] 速度越大 [15:58] 速度变大的速度也就越大 [16:01] 抵抗爆破的粘性项则是线性的 [16:03] 它抹平的能力和速度成正比 [16:05] 一边是平方型的自我放大 [16:07] 一边是线性的耗散 [16:08] 到底谁会赢呢 [16:10] 上世纪数学家有了一些进展 [16:12] 他们成功的证明了 [16:13] 二维空间里初始光滑解的流体 [16:16] 会在演化中一直光滑 [16:18] 不会爆破 [16:19] 但是三维空间当中的情况 [16:21] 则一直没有解决 [16:23] 2000 年费弗曼替克雷研究所 [16:26] 写下了正式的题面 [16:27] 一共给了四个选项 [16:29] 证明其中任何一个都 [16:30] 算解决 NS 光滑解问题 [16:33] A 在整个三维空间里 [16:35] 任给一个光滑 衰减得 [16:36] 足够快的初始速度 [16:38] 不施加任何外力 [16:39] 存在一个永远光滑能量有限的解 [16:42] B 同样的陈述 [16:43] 但是把流体放到了 [16:45] 一个周期性的盒子里 [16:46] 就像贪吃蛇那样 [16:48] 到了最右边就传送到最左边 [16:50] 穿过下面就回到上面 [16:51] 也就是在一个三维 [16:53] 环面上一直是光滑解 [16:55] C 在整个三维空间里 [16:57] 存在某个光滑的 [16:59] 初速度和某个光滑的外力 [17:01] 其中还要满足一些衰减条件 [17:03] 使得不存在永远光滑能量有限的解 [17:06] 那 D 和 C 差不多 [17:07] 同样是把位置换成了周期性的盒子 [17:11] 你可以理解这四个情况有两个维度 [17:13] 其中 AC 和 BD 是空间维度 [17:15] 也就是传统的欧式空间 [17:17] 或者是贪吃蛇的甜甜圈空间 [17:19] 而 AB 和 CD 是外力维度 [17:22] AB 完全没有外力 [17:23] 而 CD 允许使用一些光滑有限 [17:25] 衰减的外力来搅动流体 [17:28] 之所以要求光滑 [17:29] 是因为如果去掉这个要求的话 [17:31] 我们就可以随便手动 [17:32] 构造一个会爆破的过程 [17:34] 然后对着箭画靶子 [17:36] 反过来把整个过程中 [17:37] 需要的动力定义为外力 [17:39] 那这个问题就变成平凡的了 [17:42] 只不过代价是这个 [17:43] 外力可能非常病态 [17:45] 高度不连续 [17:46] 而且它自己本身就会爆破 [17:49] NS 方程的 CD 选项就是在问 [17:51] 能不能只用有限且光滑的外力 [17:53] 却能让流体爆炸出奇点 [17:58] 初看下来 [17:59] 似乎有一些很简单的理由说明 NS [18:01] 方程能一直保持光滑而不爆破 [18:03] 想象一下 [18:04] 一堆小球在一块乱碰 [18:06] 而且彼此之间还有摩擦力 [18:07] 那么它们不应该 [18:09] 理所当然的越来越慢 [18:10] 最终整体趋于平静吗 [18:13] 这个思路用数学一点的说法就是 [18:15] 整个系统的能量是有限的 [18:17] 同时流体的粘滞性又在 [18:19] 不断的耗散这个系统的能量 [18:21] 那么应该会一直光滑呀 [18:24] 但是面对连续的流体 [18:26] 情况会变得很复杂 [18:28] 流体的经典表现就是各种大大小小 [18:31] 的复杂漩涡和伴随而生的复杂湍流 [18:35] 不断放大进入 [18:36] 你会看到一个大漩涡带着流体转 [18:39] 转动的差异会在它身上搓出小漩涡 [18:42] 小漩涡又搓出更小的漩涡 [18:45] 三维空间里的 NS 方程有 [18:47] 一个很特别的性质 你看呢 [18:49] 如果一个流速场 u 的 [18:50] 演化满足这个方程 [18:52] 那么把空间缩小 λ 倍 [18:54] 时间缩小 λ² 倍 [18:56] 速度放大 λ 倍 [18:58] 得到的这个 λu [18:59] (λx, [19:00] λ²t) 也是一个 [19:02] 完美满足流体演化的解 [19:05] 算一下这个新的解的总 [19:06] 动能是原来的 1/λ [19:09] 也就是说一个完全相同的运动模式 [19:12] 比如说一种漩涡 [19:13] 它在越来越小的尺度上重复 [19:16] 你只需要把它缩小 [19:17] 同时速度加快 [19:18] 你需要的能量反而是越少的 [19:21] 而我们一开始就说过 [19:23] 流体从一开始就假设 [19:24] 了连续且无限的精度 [19:27] 所以流体经常会出现 [19:28] 一些自相似分形的情况 [19:31] 在越来越小的尺度上 [19:33] 不断出现类似的漩涡结构 [19:35] 不同尺度的漩涡还会 [19:37] 形成一种幂律的分布 [19:39] 这意味着奇点可能出现在 [19:41] 一个非常非常小的局部里 [19:43] 不需要太多能量就会产生 [19:46] 2014 年陶哲轩把 NS 方程的 [19:48] 非线性项做了一点平均化 [19:50] 保留了能量守恒之类所有的软性质 [19:53] 然后证明这个平均化的方程 [19:55] 依然会在有限时间内爆破 [19:58] 这等于告诉所有人 [19:59] 任何只依靠能量守恒这类 [20:02] 通用手段的证明线路都是死路 [20:05] 想要证明这个解一直光滑 [20:07] 必须要用到 NS 非线性项 [20:09] 的某种精细的结构 [20:10] 而反过来 [20:11] 想要证明它爆破也不容易 [20:14] 你得亲手造出一个在 [20:15] 有限时间内飞向无穷的解 [20:18] 而且要在粘性拼命 [20:19] 抹平的情况下创造出来 [20:22] NS 方程底层一个极为 [20:24] 复杂的另一个原因 [20:26] 就是三维空间本身的几何特性 [20:29] 二维的流体和三维的 [20:30] 流体有着非常本质的不同 [20:32] 我们说过 [20:33] 数学家早在上个世纪就证明了 NS [20:35] 方程在二维空间中一直会保持光滑 [20:38] 但三维情况下 [20:39] 原来的分析完全失效 [20:41] 因为三维里的涡管可以被拉长 [20:44] 想象有一个转着的水柱 [20:46] 两头被拉伸 [20:47] 它会变细 [20:48] 而根据角动量守恒 [20:50] 它转得会更快 [20:51] 跟花样滑冰运动员收回 [20:53] 手臂会加速旋转是一个道理 [20:56] 转得更快 [20:57] 它就会在周围搓出更强的剪切力 [21:00] 把别的涡管也拉得更长 [21:02] 这个叫做涡拉伸 [21:04] 只存在于三维及以上的空间 [21:07] 前面播放的烟柱崩塌形成湍流 [21:09] 靠的也正是这种机制 [21:11] 在三维湍流里 [21:13] 能量不断从大涡传给更小的涡 [21:15] 最后在最小的尺度上被粘性吃掉 [21:18] 这个级联呢 [21:19] 是离不开涡拉伸这个机制的 [21:21] 二维的流体虽然也能变得很混乱 [21:24] 但因为没有涡拉伸 [21:25] 能量反而倾向于往 [21:27] 大尺度的涡里汇聚 [21:29] 表现是完全不同的 [21:33] 那么接下来终于轮到故事的主角 [21:36] OpenAI 用了一个尚未 [21:37] 发布的内部新模型 [21:38] 官方说它明显强于目前的 GPT-6 Astra [21:41] 8 月 28 日才开始训练 [21:43] 公布结果时训练还在继续 [21:45] 就是这样一个模型 [21:47] 力大砖飞 [21:47] 居然真的找到了 NS [21:49] 方程会爆破的反例 [21:51] 也就是说 [21:52] 在克雷研究所所给出 [21:53] 的 4 种解决答案中 [21:55] 他们最终完成了 C 这个选项 [21:57] 又因为整个构造都被 [21:59] 限制在一块有限的区域里 [22:00] 把它原样放进周期的盒子 [22:02] 就顺带解决了 D 的情况 [22:05] 也就是说 [22:06] 存在这样一个神奇的流体过程 [22:08] 在一开始完全静止 [22:10] 推动它的外力有限而且光滑 [22:12] 只在一块有限的区域 [22:14] 一段有限的时间内起作用 [22:16] 这个外力连同它的各阶 [22:18] 导数甚至都会趋近于零 [22:20] 可就是在这样一个 [22:21] 温和的外力的推动下 [22:23] 流体的速度却被 [22:24] 一步步催到了无穷大 [22:26] 产生了奇点 [22:28] 我们无法在一期简短的科普视频 [22:30] 里讲清楚所有的技术细节和定理 [22:33] 只能为大家讲述构造的大致思路 [22:35] 其实这篇论文一共有 160 多页 [22:37] 截至目前 [22:38] 可能还没有人类完全真正理解 [22:41] 这个反例深层的构造和全部的奥秘 [22:43] 所以我们也只能讲个大概 [22:46] 首先想要构造反例 [22:47] 我们可以把解方程的 [22:49] 问题变成一个设计的问题 [22:51] 正常情况下 [22:52] 我们是用牛顿定律 [22:54] 来给定力计算运动 [22:56] 但是在这里我们要反过来 [22:59] 给定运动 [23:00] 反推需要什么力 [23:01] 我们需要设计一个速度场 u [23:03] 代进方程 [23:05] 左边减右边剩下的那个差 [23:07] 直接就把它定义为这个外力 f [23:09] 这个方程就会自动成立 [23:11] 因为 f 就是这么定义的嘛 [23:13] 所以造一个带外力的爆破解 [23:16] 反过来变成一个设计问题 [23:18] 设计一种在有限时间内会 [23:21] 飞向无穷快的运动过程 [23:23] 但是使得它所需要的这个外力 f [23:26] 从头到尾都是有限而且光滑的 [23:29] 这是相当困难 [23:30] 也是整个反例构造的核心所在 [23:33] AI 在论文中选择了一个 [23:35] 绕竖直轴旋转的流动 [23:37] 用 τ = 1 − t 表示距离 [23:39] 爆破还剩多少时间 [23:41] 这根水柱的半径大概按 √τ 收缩 [23:45] 高度也在收缩 [23:46] 但稍慢一点 [23:47] 所以它会越来越细长 [23:49] OpenAI 的博客说 [23:50] 它像一个意大利面 [23:52] 柱子里的流体一边 [23:53] 向着轴心螺旋向内旋转 [23:56] 一边沿着轴向上下两个方向流出去 [23:59] 中间有一个分界层 [24:01] 这种结构我们前面说过 [24:02] 就是涡管 [24:03] 里面高速旋转的核心叫做涡核 [24:06] 在涡核中央 [24:08] 流体一边旋转 [24:09] 一边向轴靠近 [24:10] 同时沿轴上下排出 [24:13] 这种结构就有加速到无穷的潜力 [24:15] 就像花样滑冰运动员那样 [24:17] 半径缩小 [24:18] 根据角动量守恒 [24:19] 旋转速度就会越来越快 [24:22] 当然 [24:22] 粘性会不断的把角动量往外扩散 [24:25] 真实的加速度是向内输运和 [24:28] 粘性损耗当中的一种平衡 [24:31] 因为我们说过流体是不可压缩的 [24:33] 不可能不断向轴的附近堆积 [24:35] 径向流入的同时 [24:37] 必须配合其他方向的流出 [24:38] 这就形成了向内旋入 [24:40] 向上向下排出的结构 [24:43] 论文第二节的图一 [24:44] 画的正是这个过程 [24:46] 正常来说 [24:47] 流体是不会自己向中心汇聚 [24:49] 速度越来越快的 [24:51] 所以需要外力来搓出这么一个核心 [24:54] 但通常情况下 [24:55] 要让流体中心出现这种 [24:57] 黑洞一样的旋转奇点 [24:59] 外力一般也会很病态 [25:01] 这会导致除了这个中央 [25:03] 高速旋转的核心之外 [25:05] 外围的流体速度怎么安排也很复杂 [25:08] 不能只画好中央的涡核 [25:10] 然后随意的让它在外围变成 0 [25:12] 因为对于越来越细的结构啊 [25:14] 拼接中间区域当中 [25:16] 的导数会越来越大 [25:17] 最终导致外力发散而不光滑 [25:20] 我们可以用一个 [25:21] 简单的例子来看一看 [25:22] 假设速度在空间里分布 [25:24] 成一个高斯形状的鼓包 [25:26] 鼓包的面积不变 [25:27] 但宽度按 √τ 收缩 [25:29] 也就是方差等于剩余的时间 τ [25:32] 鼓包的峰值速度就会 [25:33] 按 1/√τ 增长 [25:35] 离爆破越近 [25:36] 这个鼓包越小 [25:37] 其中的速度越快 [25:39] 冲向无穷大 [25:40] 那速度无穷大 [25:41] 能量会不会爆炸呢 [25:42] 其实不会 [25:43] 在三维空间中计算一下 [25:44] 你就会发现体积是 [25:46] 半径平方乘以高度 [25:47] 差不多是 τ 的 3/2 次方 [25:49] 而速度的平方则是 1/τ [25:52] 乘起来是 √τ [25:53] 随着 τ 趋于 0 [25:54] 还是趋于 0 的 [25:56] 所以有趣的事情发生了 [25:58] 这个结构虽然速度会趋向于无穷大 [26:00] 但能量却是趋于 0 的 [26:02] 这其实就是前面所说的那个 [26:04] 缩放对称性所给出的自相似形状 [26:07] 唯一的问题是 [26:08] 把它代入方程反推外力 [26:10] 你会发现这个外力 f [26:11] 依然是发散爆炸的 [26:13] 不满足要求 [26:14] 这也不奇怪 [26:15] 上世纪 90 年代数学家就已经证明 [26:17] 这种严格自相似的爆破在没有 [26:20] 外力的 NS 方程里根本不可能出现 [26:23] 为了解决这个问题 [26:24] AI 引入了一个很小的指数 h [26:26] 在论文里取它大于 0 小于 1/100 [26:30] 让涡核在两个方向上 [26:31] 以不同的速度收缩 [26:33] 半径按 τ 的 1/2 次方收缩 [26:35] 高度按 τ 的 1/2−h 次方收缩 [26:39] 旋转和轴向的速度都按 [26:40] τ 的 −1/2−h 次方增长 [26:43] 半径比高度缩得快 [26:45] 所以涡核就会越来越细长 [26:47] 这正是意大利面的来历 [26:49] 这个小小的 h 带来了两个好处 第一 [26:52] 竖直方向的粘性扩散相对于水平 [26:54] 方向变成了一个越来越小的量 [26:57] 两者之比是 τ 的 2h 次方 [26:59] 所以可以把它当成一个小的修正 [27:01] 一阶一阶往回补 [27:03] 第二 旋转速度比内向流 [27:05] 的速度增长的更快 [27:07] 所以涡核边缘的剪切会越来越强 [27:10] 这个剪切后面会成为一个放大器 [27:12] 能量也不会爆炸 [27:14] 涡核的总动能按 τ 的 1/2−3h 次方变化 [27:17] 依然是趋于 0 的 [27:19] 不过只有这些还不够 [27:21] 只要是这样一个单独的涡 [27:23] 无论 h 怎么选 [27:24] 外力 f 都会发散 [27:26] AI 仔细分析之后发现啊 [27:28] 外面缓慢旋转的区域可以取成 [27:30] 一个完全不需要外力的精确解 [27:33] 这样就可以让发散的外力 [27:35] 全部集中在两者之间的接缝上 [27:38] 也就是涡核包围的 [27:39] 外面那一圈环形区域里 [27:42] 到这里 [27:42] AI 不平凡的构造终于开始发力 [27:45] 既然接缝处缺一个力 [27:47] 而这个力会发散 [27:48] 那就不要让它是外力 [27:50] 而是让流体用自己的 [27:51] 运动把这个力生出来 [27:54] AI 的构造利用了一个 [27:55] 关键的物理事实 [27:56] 来回振荡的流体平均速度是 0 [27:59] 却可以持续地把动量往一个方向运 [28:02] 海浪斜着拍向岸边时 [28:04] 海水会顺着浪的方向斜着来回的晃 [28:07] 往岸上涌的时候会顺带往右偏 [28:10] 退回到海里的时候呢 [28:11] 则会往左偏 [28:13] 一涌一退 [28:14] 每一份水都会回到原处 [28:16] 平均速度是 0 [28:18] 而动量从一处被带到 [28:20] 另一处叫做动量输运 [28:21] 在流体里最直接的方式 [28:23] 就是水带着自己的动量过去 [28:25] 在水里画一条和海岸平行的线 [28:28] 看看线和岸之间的这片 [28:30] 水往右的动量怎么变 [28:32] 你会发现 [28:32] 当浪涌上来的时候 [28:34] 有一份水带着往右的速度 [28:36] 从这条线进入岸的这一侧 [28:39] 所以在岸这一侧的水 [28:41] 往右的动量就会增加 [28:43] 接着浪退回去 [28:44] 这份水又带着往左的 [28:46] 速度跨过这条线离开 [28:48] 那岸这一侧的水失去 [28:50] 了一份往左的动量 [28:51] 而失去往左的动量 [28:53] 相当于往右的动量增加 [28:54] 唉根据牛顿第三定律 [28:56] 因为自己推了它一下 [28:57] 所以自己反作用力往右走了 [28:59] 所以两次越过这条线呢 [29:02] 岸这一侧的往右的动量都会增加 [29:05] 写成式子可以这样想 [29:07] u 是水垂直于海岸的速度 [29:09] 朝向岸边是正 [29:11] v 是水沿着海岸的速度 [29:12] 往右为正 [29:13] ρ 是水的密度 [29:15] 那么 ρ 乘以 u 就表示每秒钟 [29:17] 越过这条线的水有多少 [29:19] 是往哪边越的 [29:21] 而每一份水又带着沿岸的速度 v [29:24] 所以每秒钟超过这条线进入岸 [29:26] 这一侧水的往右动量就是 ρuv [29:30] 我们在一整个完整的 [29:31] 周期上去积一个分 [29:33] 当涌上来的时候 [29:35] u 和 v 都是正的 [29:36] 所以乘起来是正的 [29:37] 退下去的时候 [29:38] u 和 v 都是负的 [29:39] 乘起来也是正的 [29:41] 两者总是相同变号 [29:43] 所以我们就知道 [29:45] 如果你在海边这样去游泳的时候 [29:47] 就会感受到一种沿岸流 [29:50] 也就是你自己也没有怎么动 [29:52] 但浪推着拉着 [29:53] 你就发现自己沿着岸边一路漂移 [29:56] 这种由振荡所产生的平均动量流 [30:00] 单位和压强相同 [30:01] 在海洋学里叫做辐射应力 [30:03] 在流体力学里统称为雷诺应力 [30:07] OpenAI 的构造用的是同一个机制 [30:10] 只不过被运送的这个量啊 [30:12] 从动量换成了角动量 [30:14] 一份流体的角动量是它的质量 [30:16] 乘以旋转速度再乘以到轴的距离 [30:18] 就像前面的花样滑冰运动员 [30:20] 流体在不受力矩的时候 [30:22] 往里或者往外移动 [30:23] 它的旋转速度就会变化 [30:25] 但角动量是不变的 [30:26] 所以在旋转的流体里 [30:28] 最终要看的是角动量的输运 [30:31] 我们把海边的这一根 [30:33] 线换成绕轴的一个圈 [30:35] 那么朝岸的速度 u 换成 [30:37] 沿着半径往外的速度 [30:39] 而沿岸的速度 v 呢 [30:40] 此时就对应于啊周围转出来 [30:44] 多的或者欠缺的旋转速度 [30:46] 那么往外走的流体转得比周围快 [30:49] 往里走的流体转得比周围慢 [30:51] 所以进入外圈的是转得偏快的流体 [30:54] 而离开外圈的是转得偏慢的流体 [30:57] 进出的流体是一样多的 [30:59] 但进来的角动量却比出去的多 [31:02] 所以角动量就这样持续的向外流 [31:05] 两个速度同时反号 [31:06] 乘积始终是正 [31:07] 和刚才海边的 uv 就是一样的事 [31:10] AI 具体的构造是 [31:11] 在接缝那个环形区域里 [31:13] 放上一圈一圈在空间上振荡的脉冲 [31:16] 每个脉冲在径向 轴向 [31:18] 和时间上都是局部的 [31:20] 但沿着整个环环绕一圈 [31:22] 它们的速度沿圆环平均为 0 [31:25] 运送的角动量和轴向动量却不为 0 [31:28] 那脉冲放在哪里 有多强 [31:30] 就会决定这个角动量 [31:31] 它是怎么流动输送 [31:33] 受多大力的 [31:34] AI 把脉冲安排的 [31:36] 让这些力恰好补上了 [31:38] 接缝处缺的那个力 [31:39] 让流体用自己的运动完成拼接 [31:42] 这些脉冲本身也几乎 [31:44] 不需要用外力去推 [31:45] 第 n 层的脉冲刚出生时 [31:48] 幅值只有峰值的大约 e 的负 cn² [31:51] 次方这样衰减的模式 [31:54] 播下它那一点点 [31:55] 可以小到忽略的外力 [31:57] 剩余的就交给流体自己的背景流动 [32:01] 涡核边缘的强剪切 [32:02] 就像一种不稳定性 [32:04] 一团转得比周围快的流体 [32:06] 会被甩向外圈 [32:08] 而如果外圈的转速降得足够快 [32:10] 它带着自己的角动量跑到了外圈 [32:13] 会比它的新邻居转得更快 [32:15] 于是就会被甩得更远 [32:17] 脉冲就这样从 [32:18] 背景流里汲取能量长大 [32:21] 这种放大顺带创造出了需要的配合 [32:24] 往外跑的恰好是转得偏快的流体 [32:27] 与此同时 [32:28] 剪切也在把脉冲的波纹越拧越斜 [32:31] 越拧越密 [32:32] 波长变短之后 [32:33] 粘性耗散越来越强 [32:34] 最终压过了这个放大 [32:36] 脉冲又自己衰减下去 [32:38] 先涨后消 [32:39] 包络接近于一条高斯曲线 [32:41] 也就是论文图里那 [32:42] 条先升后降的曲线 [32:44] 越接近于奇点 [32:45] 这些脉冲就被安排在越细的 [32:48] 空间尺度和越短的时间尺度上 [32:50] 带来的速度起伏会越来越大 [32:53] 但始终比涡核本身的增长速度更慢 [32:56] 那加上一轮又一轮的修正 [32:58] 把最后剩下的误差一层层消掉 [33:01] 以上种种设计拼到一起 [33:03] 外力就可以做到 [33:04] 直到奇点都保持有界 [33:06] 而且光滑到有任意阶导数 [33:08] 可在它的驱动下 [33:10] 流速却爆炸到无穷大 [33:12] 产生了奇点 [33:13] 啊算了 [33:14] 说这么多估计你也没听懂 [33:16] 那我们直接来看粒子模拟的动画 [33:18] 体会一下这个世纪反例吧 [33:45] 你可能会问 [33:46] 这 NS 方程都出爆破解了 [33:49] 是不是流体力学不存在了 [33:50] 物理学家和工程师是不是会慌呢 [33:53] 其实也不至于 [33:54] 因为这只是一个数学上的反例 [33:57] 物理上的意义很小 [33:59] 方程之所以能推出无穷大的速度 [34:01] 是因为它假设流体是连续的 [34:03] 可以无限细分 [34:05] 但真实的水是由分子组成的 [34:07] 尺度小到分子间距的量级 [34:10] 连续介质的假设就失效了 [34:12] 方程本身不再适用 [34:13] 得改用分子动力学去算 [34:15] 而这个爆破解的核心正是要 [34:18] 收缩到无穷小才能飞到无穷快 [34:21] 所以不能理解为 NS 方程本身有问题 [34:24] 而是它恰恰说明 NS 方程对流体的 [34:27] 建模在某些极端情况下是不完备的 [34:31] 更多简单的经典力学分析下的 [34:33] 流体力学会丢失重要的前提假设 [34:37] 流体不能再被视为无限精度的流场 [34:40] 流体作为海量粒子的 [34:41] 本质必须要被建模考虑 [34:44] 现实世界啊 [34:45] 有一大堆方程里没有写的正则性 [34:48] 也会影响出这个爆破解在 [34:50] 现实当中不怎么会存在 [34:52] 首先不可压缩意味着声速无穷大 [34:55] 一处受压 [34:55] 另一处瞬间就响应 [34:57] 这在真实流体中是做不到的 [34:59] 粘性同时还正比于速度梯度 [35:01] 这是牛顿流体 [35:03] 它也只是一个近似 [35:05] 剪切率在无穷大的时候未必成立 [35:07] 还有相对论会决定一个 [35:09] 速度的上限等等等等 [35:11] 在实际应用里 [35:12] 大家就更没有那么 [35:13] 关心 NS 方程是否会爆破 [35:15] 更不会发现天塌了 [35:17] 因为飞机 天气 血流的 [35:19] 模拟早就已经成熟了 [35:21] 他们靠的是对湍流做经验性的建模 [35:24] 无论是证明这个解永远光滑 [35:26] 还是找到一个病态的爆破反例 [35:28] 都不会从根本上 [35:29] 改变我们做天气预报 [35:31] 模拟气候变化的方式 [35:33] 飞机也不会因此飞得更快 [35:35] NS 方程的价值啊 [35:36] 在于九十年来人们为了 [35:38] 攻克它所发明的理论 [35:40] 比如说啊勒雷弱解 [35:42] 各种函数不等式 [35:43] 正则性爆破的判据等等 [35:45] 所以这个结果的冲击啊 [35:47] 在数学层面上远远 [35:48] 大于物理和应用上 [35:50] 近些年数学界行内的预期已经 [35:52] 越来越倾向于 NS 方程会爆破 [35:55] 比如说陶哲轩在 [35:56] 9 月 7 日的博客里就写到 [35:58] 现在普遍预期可以构造出 [36:00] 光滑初值加光滑外力的爆破解 [36:02] 甚至不需要外力也可以 [36:04] 那对于数学家来说 [36:06] 大家满意于这个反例吗 [36:08] 首先震撼之情肯定还是有的 [36:10] 毕竟 AI 的确给出了经过 [36:12] 形式化验证的反例 [36:14] 完成了克雷研究所 NS 方程的 C 和 D 选项 [36:17] 9 月 11 日克雷研究所专门发表声明说 [36:20] 这个问题 apparently been settled [36:23] 也就是说看起来已经得到了解决 [36:25] 但后续成果评估和贡献认定 [36:28] 仍然会按照既定规则审慎进行 [36:31] OpenAI 也表示不会去 [36:33] 申领这 100 万美元的奖金 [36:34] 毕竟自己都花了 1000 多万 [36:36] 只不过大家还是 [36:37] 觉得稍微差了一口气 [36:39] 因为大家真正关心的 [36:41] 最难的还是没有外力的情况下 [36:43] 一个初始光滑的流体会不会 [36:46] 在完全自发内部的演化中 [36:48] 产生一个速度无限大的奇点 [36:51] 从目前的结果到这个无外力的问题 [36:54] 其难度的跨越可能一点 [36:55] 都不比找到这个反例小 [36:58] 说到底 [36:58] 允许施加外力的自由度还是太高了 [37:01] AI 找到的这个反例表明 [37:03] 尽管加上了光滑有界的要求 [37:05] 三维空间的任意外力 [37:07] 场能干的事还是太多 [37:09] 芝加哥大学的数学家 [37:10] Luis Silvestre 评价说 [37:12] 克雷的题目算是解决了 [37:14] 但 NS 方程真正的核心问题还没有 [37:17] 对于没有粘性的欧拉方程 [37:19] OpenAI 同时放出了另一篇论文 [37:21] 声称从一个光滑的只在有限 [37:23] 区域里流动的初始状态出发 [37:25] 不施加任何外力也能够爆破 [37:28] 这个结果如果成立 [37:30] 本身就是流体力学当中的一件大事 [37:32] 目前还在接受同行的检验 [37:34] 但对于有粘性的 NS 方程 [37:36] 完全没有外力的情况下 [37:38] 流体会不会依靠自己演化出爆破 [37:40] 至今仍是未解难题 [37:42] 当然我们也不知道它还能活多久 [37:45] 此外还有一个重要的事实是 [37:46] AI 找到的这个反例依然 [37:48] 不是完全平地起高楼 [37:50] 这条路线有清楚的人类谱系 [37:53] 2022 年 Albritton、Brué 和 Colombo 用一个外力 [37:57] 构造出了两个不同的勒雷解 [37:59] 但他们的外力在初始时刻是奇异的 [38:02] 从 2023 年起 [38:03] 西班牙数学家 Córdoba 和 Martínez- [38:06] Zoroa 发表了一系列论文 [38:07] 发展出一套逐级放大的构造思路 [38:10] 啊也就是我们说的反复往一个 [38:12] 带外力的解上叠加越来越小 [38:14] 越来越高频的修正 [38:16] 用大尺度的拉伸去 [38:17] 放大更小尺度的涡 [38:18] 有点像前面所说的大涡搓出小涡 [38:21] 让解越来越奇异 [38:22] 同时让外力保持良好的性质 [38:24] 2024 年他们用这个思路在 [38:26] 一个更简单的流体模型 [38:28] 也就是不可压缩的多孔介质方程上 [38:30] 从光滑的初始状态造出了奇点 [38:33] 2026 年 9 月 7 日 [38:35] 纽约大学的 Buckmaster 和 [38:36] Anthropic 的员工 Alpöge 宣布 [38:38] 他们把这条路推到了光滑外力 [38:41] 做出了三维欧拉方程等 [38:43] 三个流体模型的爆破 [38:45] 他们大量借助了 Anthropic [38:46] 和 OpenAI 的多个大模型 [38:48] 这个结果在 8 月中旬就已经得到 [38:50] 一周后在 Lean 里完成了形式化 [38:52] 他们原本打算整理一下 [38:54] 这个 AI 写的这种鬼话 [38:56] 写出人类能够读懂的论文再公布 [38:59] 但是呢在这个过程当中 [39:02] OpenAI 听到了这个传闻 [39:04] 说有两个千禧年问题已经被解决了 [39:07] 于是他们也让模型同时去 [39:09] 攻克所有的千禧年问题 [39:10] 外加一批简单一点的问题 [39:13] 其中大约 100 个智能体 [39:15] 花了 50 个小时左右 [39:16] 出乎意料地先做出了无 [39:18] 外力欧拉方程的爆破 [39:19] 也就是前面提到的那篇 [39:21] OpenAI 这才把资源集中到 NS 方程上 [39:24] 并把欧拉方程的 [39:25] 结果喂给这些智能体 [39:26] 9 月 5 日距离第一批智能体 [39:29] 启动大约 88 个小时 [39:30] NS 的证明就出炉了 [39:32] OpenAI 说他们后来才意识到那条 [39:35] 传闻指的是 Buckmaster 和 Alpöge [39:37] 并且承认了两人在带外力 [39:39] 欧拉方程上是更优先发现这件事情 [39:42] 的 但 [39:43] 但与此同时 [39:44] Buckmaster 则认为 [39:45] OpenAI 走的正是他和 [39:47] Alpöge 在做的那条路线 [39:49] 并且他们的研究大量 [39:50] 用到了 OpenAI 的 Codex [39:52] 他怀疑 OpenAI 是否 [39:54] 接触过这些对话数据 [39:56] 或者拿它们训练过模型 [39:58] OpenAI 表示 [40:00] 他们并没有查看过任何用户数据 [40:02] 只不过也不能排除去标识化 [40:05] 的使用数据帮助改进了模型 [40:07] 那 9 月 10 号 [40:08] OpenAI 又更新说 [40:09] 经过调查确认 [40:10] Buckmaster 此前两个月 [40:11] Codex 对话不可能对这次 [40:13] 结果产生任何影响 [40:15] 并强调两边的证明差别很大 [40:17] 目前双方私下关于署名 [40:20] 的谈判也闹得很僵 [40:21] 有没有彼此借鉴 [40:22] 功劳该怎么分到 [40:24] 现在双方都各执一词 [40:25] 咱作为圈外人也只能吃瓜 [40:28] 好了不知道这期视频有没有让你 [40:30] 对流体力学多理解了一点呢 [40:32] 视频制作非常不易 [40:33] 还希望各位能一键三连支持一下 [40:35] 传闻啊 [40:36] AI 已经又要解决霍奇猜想和 BSD [40:39] 猜想这两个千禧年大奖难题 [40:41] UP 表示做不过来 [40:42] 真的做不过来 [40:44] 我是从来没有想过有一天呢 [40:46] 我讲解这种人类未解数学难题 [40:48] 的速度会跟不上 AI 解决的速度 [40:50] 那大家点个关注 [40:51] 就能第一时间看到 [40:53] 专业直观的分析科普了 [40:54] 漫士沉思录 [40:55] 学海引路不辛苦 [40:56] 我们下期再会