图厄-摩斯序列通过64步基元重整化收敛为科赫雪花

Meditation Math

自然数二进制数码和在60度转角约束下依赖64步微观序列构成的宏观对称基元交替嵌套，其自平衡反馈机制迫使漫步边界严格收敛至1.26维的科赫雪花。

AI-assisted summary of 【漫士】二进制里隐藏的分形：到底什么是分数维度？ — original source. Check the original for full context.

Source published: 2026-09-27

Key ideas

小海龟依据自然数二进制数码和的奇偶性移动（偶数前进、奇数逆时针转 60 度），在平面上极限演化生成的正是分形图形科赫雪花。 (0:00)
分形维度突破了传统的整数空间维度；科赫雪花具备无穷大的周长与有限的面积，其相似维度为 log₃4 ≈ 1.26186。 (0:00)
海岸线因缺乏完美自相似性而表现出尺度依赖，曼德博与理查森确立了盒计数维度，测得破碎的英国西海岸约为 1.25 维，平滑的南非海岸线约为 1.02 维。 (10:00)
二进制奇偶漫步形成分形的数学本质在于图厄-摩斯序列在 64 步尺度下的重整化自平衡机制，且系统表现取决于进制与旋转角的参数组合。 (15:00)

Detailed notes

## Background 该视频由清华大学人工智能博士生运营的 YouTube 频道“Meditation Math”（漫士）于 2026 年 9 月 27 日发布。频道简介表明作者专注于日常学术思考与科学、物理及数学知识的深度科普。

## TL;DR 视频从一个简单的“海龟根据二进制数码求和奇偶性漫步”的数学魔术切入，揭示其轨迹竟收敛为经典的分形几何图形——科赫雪花。以此为引子，作者系统阐述了分形维度的本质，从相似维度推演到盒计数维度与双对数拟合，并以著名的“英国海岸线有多长”悖论剖析了现实物理分形的标度窗口。最后，视频借助图厄-摩斯序列与重整化粗粒度分析，严密论证了 64 步宏观基元交替嵌套生成科赫雪花的代数几何机理，并拓展探索了不同进制与转向角下的混沌分形图景。

## Atmosphere & style 视频兼具硬核数学推导的严密理性与发现几何之美的惊艳感，讲解层层递进、抽丝剥茧。作者以极具亲和力却不失学术深度的清华学者语调娓娓道来，将原本晦涩的离散序列、重整化思想与计算机模拟结合得生动形象。观众仿佛跟随作者经历了一场从简单的算术魔术深入现代分形几何核心的探索之旅，全程充满解密般的顿悟与智识愉悦。

## Bulletin - [00:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=0s) 小海龟依据自然数二进制数码和的奇偶性移动（偶数前进、奇数逆时针转 60 度），在平面上极限演化生成的正是分形图形科赫雪花。 - [00:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=0s) 分形维度突破了传统的整数空间维度；科赫雪花具备无穷大的周长与有限的面积，其相似维度为 log₃4 ≈ 1.26186。 - [10:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=600s) 海岸线因缺乏完美自相似性而表现出尺度依赖，曼德博与理查森确立了盒计数维度，测得破碎的英国西海岸约为 1.25 维，平滑的南非海岸线约为 1.02 维。 - [15:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=900s) 二进制奇偶漫步形成分形的数学本质在于图厄-摩斯序列在 64 步尺度下的重整化自平衡机制，且系统表现取决于进制与旋转角的参数组合。

## Key takeaways - [00:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=0s) 依据自然数二进制数码和的奇偶性驱动海龟前进与转向，能够在简单离散规则下自动涌现出科赫雪花分形。 - [00:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=0s) 科赫雪花通过三等分凸起迭代构造，每次长度扩大为 4/3 倍，导致其极限周长无穷大而所围面积有限收敛。 - [00:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=0s) 几何体的维度可由尺寸缩放倍数 k 与所需副本数 N 的关系 k^D = N 定义，从而使科赫雪花具有分数维度 D = log₃4 ≈ 1.26186。 - [05:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=300s) 谢尔宾斯基三角形（约 1.585 维）和门格海绵（约 2.727 维）进一步印证了相似维度定义，而希尔伯特曲线则以一维线条填满二维空间。 - [05:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=300s) “英国海岸线有多长”悖论揭示出真实物体的长度取决于测量尺度的长短，总长度遵循幂律分布 L(ε) ∝ ε^(1 - D)。 - [05:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=300s) 曼德博借由统计自相似性拓展了分形概念，使不具备严格对称自相似性的自然轮廓也能定义分形维度。 - [10:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=600s) 盒计数维度（闵可夫斯基维度）通过统计覆盖图形所需的网格数量 N(ε)，在双对数坐标系下利用线性拟合斜率求取分形维度。 - [10:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=600s) 对地理数据的双对数拟合显示，曲折破碎的英国西海岸维度约为 1.25，而相对平缓平滑的南非海岸线维度仅约为 1.02。 - [10:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=600s) 现实物理实体的分形特性仅在特定的标度窗口内成立，无法无限制下探到分子原子尺度。 - [15:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=900s) 二进制数码求和的奇偶状态对应数学上的图厄-摩斯序列，具备每翻倍长度就全盘逐位取反的代换结构（0 → 01, 1 → 10）。 - [15:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=900s) 通过重整化粗粒度分析，序列在 64 步时构成宏观基元 W 与取反基元 W-bar，满足朝向旋转 120° 且方向严格相反的充要条件。 - [15:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=900s) 基元在两轮迭代后形成 W → W W-bar W-bar W 的几何突起，大小鼓包交替嵌套的自平衡机制抹平了比例差异，最终宏观收敛至科赫雪花。 - [20:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=1200s) 海龟漫步的动力学本质是进制参数（2）与离散转角模空间（60°/6 方向）的映射，更换不同数值组合会产生射线、闭环乃至全新奇异分形。

## Detailed walkthrough ### [00:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=0s) 二进制海龟魔术与科赫雪花的诞生

视频开篇，作者展示了一个令人拍案叫绝的“数学魔术”：从最基础的自然数及其二进制表示入手。二进制只有 0 和 1，逢二进一；若将自然数的各位二进制数码全部加和，例如 5 的二进制是 $101_2$，其数码之和便是 $1 + 0 + 1 = 2$。接着引入一只小海龟按照自然数递增顺序逐步漫步：在第 $n$ 步时，若 $n$ 的二进制数码之和为偶数，海龟就向前直行 1 个单位；若为奇数，则原地逆时针旋转 60 度。随着自然数不断输入，这只小海龟七拐八弯地爬行，最终在画布上勾勒出的竟然是著名的分形几何图形——**科赫雪花（Koch Snowflake）**。

为了解开这个谜题，必须先理解科赫曲线的标准几何构造： 1. 从一条基准线段开始，取其三等分点，将线段划分为三等份； 2. 保留两端线段，把中间那段替换为一个向外凸出的等边三角形的另外两条边，此时原线段演变成了 4 根长度各为原来的三分之一的小线段； 3. 对这 4 根小线段重复上述三等分和凸起操作，无限迭代下去，便构成了极其曲折的科赫雪花边缘。

科赫雪花具有几个经典而反常的性质：在每次迭代中，总线段数量变为 4 倍，单段长度变为原来的 $\frac{1}{3}$，使得整体长度每次都乘以 $\frac{4}{3}$，因而极限下的总周长是无穷大的；但由于它始终被外围的大三角形所包裹，其包围的几何面积却严格收敛于有限值。同时，它具备严格的“自相似性”（Self-similarity）——从曲线中截取任何一个局部放大，都能得到与原图形完全一模一样的结构。

之所以被称为“分形”（Fractal），是因为它的维度并不是整数，而是分数维度（准确地说是无理数维度）$D \approx 1.26186$。准确的数学表达式为以 3 为底 4 的对数： $$D = \log_3 4$$

从更高维度的空间缩放视角来看： - 一个正方形扩大 2 倍尺度，需要 4 个原本的正方形拼接而成。由于在 $d$ 维空间中尺寸放大 2 倍体积会扩大 $2^d$ 倍，方程 $2^d = 4$ 解得 $d = 2$，说明它是二维几何体； - 一个立方体尺度放大 2 倍，需要 8 个原本的立方体，即 $2^d = 8 \implies d = 3$，因此它是三维几何体； - 对于科赫雪花，要拼出一个尺寸放大 3 倍的自相似整体，恰好需要 4 份相同的自身副本，即 $3^D = 4$，从而直接导出 $D = \log_3 4$。更通用的相似维度定义为：若将图形缩放 $k$ 倍需要 $N$ 个复制品，则 $k^D = N$，即 $D = \frac{\log N}{\log k}$。

[05:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=300s) 分数维度的拓展与“英国海岸线有多长”悖论

利用缩放与副本数量的对数比，可以计算各种纯数学分形的维度。例如**谢尔宾斯基三角形（Sierpiński Triangle）**，放大 2 倍需要 3 个副本，维度为 $D = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585$；**门格海绵（Menger Sponge）**放大 3 倍需要 20 个副本，维度为 $D = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2.727$，其极限体积趋近于 0，而表面积却发散到无穷大。然而，分形不一定会损失维度，例如著名的空间填充曲线——**希尔伯特曲线（Hilbert Curve）**，尺度放大 2 倍需要 4 个副本，维度计算为 $\frac{\log 4}{\log 2} = 2$；它虽然是一条一维线段生成的单线条，却在极限状态下严丝合缝地填满了整个二维正方形区域。

但这套严密的自相似维度定义面临着一个巨大局限：图形必须能被切分成若干个自身等比例缩小的副本。自然界中绝大多数具有分数维度的物体并不具有完美的自相似性，最经典的例子便是**海岸线**。挪威的峡湾或英国的海岸线放大之后绝不会完美重现原本的形状，但它们同样没有确定的长度。

20 世纪 50 年代，英国气象学家刘易斯·弗莱·理查森（Lewis Fry Richardson）在统计各国边界数据时惊讶地发现：西班牙公布的两国边界长度是 987 公里，而葡萄牙官方公布的却是 1214 公里，两者相差了足足 227 公里。真相并不在于测量误差，而在于测量所使用的“尺子”： - 拿 200 公里的长尺去一节一节贴合边界测量，小于 200 公里的海湾和曲折都会被直接“拉直”跳过； - 换用 50 公里的短尺测量，尺子就会钻进各种细碎的弯道拐角，测出的长度自然会暴增； - 与圆周等平滑一维曲线不同（平滑曲线在分段越来越细时周长会收敛到确定的极限 $2\pi r$），海岸线的总长度随尺子变短而完全不收敛，尺度缩小到沙粒级别时总长甚至能绕地球转圈。因此，“英国的海岸线有多长？”这一问题本身没有固定答案，长度完全取决于测量尺度。

理查森发现测量总长 $L(\varepsilon)$ 与尺子刻度 $\varepsilon$ 满足一条幂律分布（Power Law）： $$L(\varepsilon) \propto \varepsilon^{1 - D}$$ 海岸线越平滑，$D$ 越接近 1（对于光滑曲线 $D=1$，长度即为 $\varepsilon^0$ 常数）；海岸线越破碎曲折，$D$ 就越大。当时理查森仅将其视作一个经验参数。直到 1967 年，本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）在《科学》（Science）杂志发表了里程碑式论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维度》（*How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension*），正式将这一参数确立为维度的普遍定义。

```mermaid flowchart TD accTitle: Coastline Measurement Scaling Law accDescr: 尺子尺寸缩短导致测量总长按幂律增长并推导出分形维度的流程 subgraph Measure["测量尺度与长度变化"] RulerLong["长尺测量 (如 200 km)"] --> Skipped["忽略局部弯折: 测量长度较短"] RulerShort["短尺测量 (如 50 km)"] --> Captured["计入细小海湾: 测量长度大幅增加"] end subgraph PowerLaw["幂律规律与维度提取"] Skipped & Captured --> Relation["幂律关系: L(ε) ∝ ε^(1 - D)"] Relation --> Smooth["平滑曲线: D → 1 (极限收敛)"] Relation --> Fractured["破碎分形: D > 1 (长度发散)"] end ```

[10:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=600s) 盒计数维度与双对数坐标下的海岸线实战

为了对任意几何形状（哪怕不具备自相似性）赋予严密的维度，数学界引入了**盒计数维度（Box-counting Dimension）**，也被称作**闵可夫斯基维度（Minkowski Dimension）**。 - 将平面用边长为 $\varepsilon$ 的网格铺满，统计接触到图形的网格数量（或覆盖曲线所需的最少正方形盒子数）$N(\varepsilon)$； - 曲线总长可近似看作 $L(\varepsilon) \approx N(\varepsilon) \cdot \varepsilon$； - 结合理查森幂律 $L(\varepsilon) \propto \varepsilon^{1 - D}$，可知盒子数 $N(\varepsilon) \propto \varepsilon^{-D}$，即反比例尺度 $\frac{1}{\varepsilon}$ 与盒子数 $N(\varepsilon)$ 呈现幂函数关系 $y = x^D$。

在实际操作中，为了方便提取指数，可对两边同时取对数： $$\log N(\varepsilon) \approx D \cdot \log\left(\frac{1}{\varepsilon}\right) + C$$ 在以 $\log\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)$ 为横轴、$\log N(\varepsilon)$ 为纵轴的双对数坐标系下，原本的非线性幂律转化为一条直线，而直线的斜率恰恰就是分形维度 $D$。对于自相似图形如科赫雪花：取网格边长 $\varepsilon = \frac{1}{3}$ 时盒子数 $N = 4$；取 $\varepsilon = \frac{1}{9}$ 时 $N = 16$；以此类推 $\varepsilon = \left(\frac{1}{3}\right)^k$ 对应 $N = 4^k$。横轴每增加 $\log 3$，纵轴增加 $\log 4$，直线斜率精准等于 $\log_3 4$。

将该方法应用到真实地理数据时，由于自然地理环境存在噪点，双对数点阵不会是一条绝对平直的线，需要使用**最小二乘法（Ordinary Least Squares）**进行线性拟合： - **英国西海岸**：拟合出的维度大约为 $D \approx 1.25$。这一数值极其接近科赫曲线的 $1.26$，证明英国西海岸在地理结构上高度破碎、犬牙交错。 - **南非海岸线**：拟合出的维度大约为 $D \approx 1.02$，非常接近一维平滑曲线，说明其边缘规整，尺子缩小对其长度增长的贡献微乎其微。

作者特别指出，现实中的物理分形只在一定的“**标度窗口（Scaling Window）**”（例如几公里到几百公里之间）成立；现实中不可能无限缩小到分子或原子尺度，因此说英国西海岸是 1.25 维，科学严谨的表述是“在宏观观测尺度内，其复杂度的增长趋势等效于一个 1.25 维的几何对象”。

[15:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=900s) L-System、图厄-摩斯序列与粗粒度重整化分析

厘清了分形维度的本质后，视角回到核心问题：自然数的二进制数码求和，为什么会驱使小海龟走出科赫雪花？

在计算机图形学与形式语言中，科赫雪花常用 **L-系统（L-System）** 表示： - 将行进向量记为 $F$，逆时针旋转 60 度记为 $+$，顺时针旋转 60 度（即逆时针旋转 300 度）记为 $-$； - 科赫曲线的单步生成规则可严格表达为： $$F \to F + F - - F + F$$ - 这一规则的关键几何特性在于：内部包含一个 $+$、两个 $-$、再加一个 $+$，旋转角度相互抵消（$+60^\circ - 120^\circ + 60^\circ = 0^\circ$）。海龟走完这一串后，出口方向和初始方向完全相同，端点也恰好落在此前的大向量终点，因此每个 $F$ 都可以无干扰地原地展开。

起初人们很容易直觉地认为：只要将二进制奇偶性中的 0 对应为 $F$、1 对应为 $+$，就能直接套用 L-System 证明。但作者在比对海龟轨迹后发现，实际路径布满了密集的平行四边形和三角形内部纹理，并没有呈现纯净的单线条。通过查阅两篇二十年前的经典数学文献（包括 *When Thue-Morse meets Koch* 以及 *Generalized Thue-Morse Sequences and the von Koch Curve*），作者提炼出了一套更直观、本质的解释框架。

自然数二进制数码和的奇偶序列，在数学上被称为**图厄-摩斯序列（Thue-Morse Sequence）**。该序列有一条核心规律：任意截取 $2^k$（例如 8）长度的前半段与后半段，其对应位上的 0 和 1 必然全盘相反（因为两两对应项的数值恰好相差 $2^k$，二进制最高位必定相差一个 1，数码和的奇偶性必然颠倒）。因此，图厄-摩斯序列可以通过“逐位取反并拼在末尾”无限生成，或者等价于单字符代换法则： $$0 \to 01, \quad 1 \to 10$$

为了理解为何其会收敛出科赫雪花，作者借鉴物理学中的“**重整化（Renormalization）**”思想，将考察尺度放大： - **基元 $W$**：海龟前 64 步在小尺度内画出一个山峰状复杂纹理，但从整体宏观位移来看，它朝着初始方向逆时针旋转 $120^\circ$ 的方向前进 3 个单位，且海龟最终朝向相对初始方向逆时针旋转了 $120^\circ$。 - **基元 $\bar{W}$（即 $W$ 取反）**：对这 64 步指令逐位取反，海龟整体沿着初始方向逆时针旋转 $60^\circ$ 的方向前进了 6 个单位，最终朝向同样逆时针旋转了 $120^\circ$。

在粗粒度宏观视角下，可以把 $W$ 当作 0，把 $\bar{W}$ 当作 1。随着图厄-摩斯序列递推迭代： - 经过一次迭代，每块基元实现代换：$W \to W\bar{W}$，$\bar{W} \to \bar{W}W$； - 经过两次迭代，基元长度扩大为 4 倍： $$W \to W\bar{W}\bar{W}W$$ $$\bar{W} \to \bar{W}WW\bar{W}$$

观察 $W \to W\bar{W}\bar{W}W$ 的宏观轨迹：首末位移方向不变、首尾转角依然是 $120^\circ$，但中间由两段 $\bar{W}$ 隆起出了一个等边三角形小鼓包！这与 L-System 中 $F$ 局部隆起尖角的机制在宏观上完全同构。

```mermaid flowchart LR accTitle: Thue-Morse Coarse-Graining into Koch Geometry accDescr: 64步微观二进制序列在重整化下聚合成宏观基元并迭代生成科赫鼓包的演化过程 subgraph Micro["微观层面: 图厄-摩斯序列"] Bit0["状态 0"] --> Sub64A["迭代 6 次 (64 步)"] Bit1["状态 1"] --> Sub64B["迭代 6 次 (64 步)"] end subgraph MacroBlock["粗粒度基元定义"] Sub64A --> W["基元 W (宏观移动 3 格)"] Sub64B --> Wbar["基元 W-bar (宏观移动 6 格)"] end subgraph FractalGrowth["两轮迭代与宏观几何形态"] W --> MultiW["W → W W-bar W-bar W"] Wbar --> MultiWbar["W-bar → W-bar W W W-bar"] MultiW & MultiWbar --> KochShape["中央隆起三角形鼓包: 收敛至科赫雪花"] end ```

- 虽然在单次代换中，鼓包底边比例并非完美的三等分（$W$ 的鼓包占整体的 $\frac{1}{2}$，而 $\bar{W}$ 的鼓包偏小，占 $\frac{1}{5}$）； - 但在下一次迭代中，$W$ 上隆起的大鼓包由 $\bar{W}$ 构成，下一步必然会生成较小比例的鼓包；而两端原本较长的水平线由 $W$ 构成，下一步会生成偏大的鼓包； - 这种大、小鼓包交替嵌套的几何反馈自平衡机制，让不均匀的比例在多轮极限演化下相互抚平，整体宏观边界最终精准收敛为经典的科赫雪花。

[20:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=1200s) 64 步机制的成因与多进制探索展望

为什么宏观基元的最小尺度必须恰好选在第 64 步？作者解释道：这是因为数学上要求基本单元 $W$ 与其逐位取反的 $\bar{W}$ 必须满足两个几何充要条件——**整体行进方向严格相反，且两者的终端朝向旋转角严格相同（均为 $120^\circ$）**。在基于 60 度转向与二进制代换的约束下，穷举搜索的最小解恰恰是 $2^6 = 64$。数学上已经证明，只要构造出的基元满足这组几何对称条件，哪怕比例再奇异，无限展开后最终都会收敛为科赫分形。

剖析整套机制后可以发现，原始规则中实际上只有两个关键常数： 1. **进制参数**：2； 2. **转角参数**：$60^\circ$（即把 $360^\circ$ 空间圆周划分为 6 个离散方向）。

海龟的朝向本质上就是在 6 个模空间方向上加减运算，转满 6 次便复位回到原点。既然核心是二进制与六等分方向的代数映射，如果打破常数限制、将 2 进制与 6 方向更换为其他数值，系统会展现怎样的景象？

作者编写了仿真小程序进行了实验：当切换为其他进制或转角时，海龟漫步展现出了极为丰富的动力学现象： - 有的数值组合退化为一条笔直延伸的射线； - 有的被束缚在一个有限的几何地图内来回振荡闭环； - 还有一些组合呈现高度混沌特性，近乎稠密地踏遍整个平面，交织出截然不同却同样精妙的奇异分形图案。

视频最后，作者向观众抛出思考，邀请大家在评论区探讨类似的数学几何现象，并预告后续将继续带来更多关于分形与前沿几何维度的科普解析。

## Notable quotes > [00:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=0s) 在第 $n$ 步时，若 $n$ 的二进制数码之和为偶数，海龟就向前直行 1 个单位；若为奇数，则原地逆时针旋转 60 度。 — 漫士

> [00:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=0s) 之所以被称为“分形”（Fractal），是因为它的维度并不是整数，而是分数维度（准确地说是无理数维度）$D \approx 1.26186$。 — 漫士

> [00:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=0s) 若将图形缩放 $k$ 倍需要 $N$ 个复制品，则 $k^D = N$，即 $D = \frac{\log N}{\log k}$。 — 漫士

> [05:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=300s) 它虽然是一条一维线段生成的单线条，却在极限状态下严丝合缝地填满了整个二维正方形区域。 — 漫士

> [05:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=300s) 海岸线的总长度随尺子变短而完全不收敛，尺度缩小到沙粒级别时总长甚至能绕地球转圈。因此，“英国的海岸线有多长？”这一问题本身没有固定答案，长度完全取决于测量尺度。 — 漫士

> [10:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=600s) 在以 $\log\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)$ 为横轴、$\log N(\varepsilon)$ 为纵轴的双对数坐标系下，原本的非线性幂律转化为一条直线，而直线的斜率恰恰就是分形维度 $D$。 — 漫士

> [10:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=600s) 在宏观观测尺度内，其复杂度的增长趋势等效于一个 1.25 维的几何对象 — 漫士

> [15:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=900s) 自然数二进制数码和的奇偶序列，在数学上被称为图厄-摩斯序列（Thue-Morse Sequence）。 — 漫士

> [15:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=900s) 这种大、小鼓包交替嵌套的几何反馈自平衡机制，让不均匀的比例在多轮极限演化下相互抚平，整体宏观边界最终精准收敛为经典的科赫雪花。 — 漫士

> [20:00](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk&t=1200s) 数学上已经证明，只要构造出的基元满足这组几何对称条件，哪怕比例再奇异，无限展开后最终都会收敛为科赫分形。 — 漫士

## Mentioned 清华大学, 科赫雪花 (Koch Snowflake), 谢尔宾斯基三角形 (Sierpiński Triangle), 门格海绵 (Menger Sponge), 希尔伯特曲线 (Hilbert Curve), 刘易斯·弗莱·理查森 (Lewis Fry Richardson), 本华·曼德博 (Benoit Mandelbrot), 《科学》 (Science), 《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维度》 (How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension), 盒计数维度 (Box-counting Dimension), 闵可夫斯基维度 (Minkowski Dimension), L-系统 (L-System), When Thue-Morse meets Koch, Generalized Thue-Morse Sequences and the von Koch Curve, 图厄-摩斯序列 (Thue-Morse Sequence)

## Video description 一位来自清华的人工智能博士生，日常思索和科普。 An artificial intelligence doctoral student from Tsinghua University who likes to delve into thinking and science popularization.

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[Source](https://www.youtube.com/watch?v=_aawHIXGoNk)

中文简报

图厄-摩斯序列通过64步基元重整化收敛为科赫雪花自然数二进制数码和在60度转角约束下依赖64步微观序列构成的宏观对称基元交替嵌套，其自平衡反馈机制迫使漫步边界严格收敛至1.26维的科赫雪花。视频从一个简单的“海龟根据二进制数码求和奇偶性漫步”的数学魔术切入，揭示其轨迹竟收敛为经典的分形几何图形——科赫雪花。以此为引子，作者系统阐述了分形维度的本质，从相似维度推演到盒计数维度与双对数拟合，并以著名的“英国海岸线有多长”悖论剖析了现实物理分形的标度窗口。最后，视频借助图厄-摩斯序列与重整化粗粒度分析，严密论证了 64 步宏观基元交替嵌套生成科赫雪花的代数几何机理，并拓展探索了不同进制与转向角下的混沌分形图景。小海龟依据自然数二进制数码和的奇偶性移动（偶数前进、奇数逆时针转 60 度），在平面上极限演化生成的正是分形图形科赫雪花。 (0:00) 分形维度突破了传统的整数空间维度；科赫雪花具备无穷大的周长与有限的面积，其相似维度为 log₃4 ≈ 1.26186。 (0:00) 海岸线因缺乏完美自相似性而表现出尺度依赖，曼德博与理查森确立了盒计数维度，测得破碎的英国西海岸约为 1.25 维，平滑的南非海岸线约为 1.02 维。 (10:00) 二进制奇偶漫步形成分形的数学本质在于图厄-摩斯序列在 64 步尺度下的重整化自平衡机制，且系统表现取决于进制与旋转角的参数组合。 (15:00)

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本期节目从“自然数二进制数码和驱动海龟走出科赫雪花”的几何现象切入，系统阐述了分数维度的数学定义与测量方法，并结合图厄-摩斯序列与物理学重整化思想，揭示了离散数论规则在宏观极限下收敛为连续分形的代数与几何机制。自相似性与理想分形的相似维度 (0:00) 科赫雪花展示了经典分形的反常性质：将基准线段三等分，并用等边三角形的两条边替换中间段，每次迭代使线段数量变为4倍、单段长度变为原来的1/3。无限迭代下，其总周长每次乘以4/3从而发散至无穷大，但包围的面积却收敛于有限值。这种局部放大后与整体完全相同的特性被称为“自相似性”。为了度量此类图形，数学上引入了基于空间缩放的相似维度。若将几何体尺寸放大 $k$ 倍需要 $N$ 个自身副本拼接，则维度定义为 $D = \frac{\log N}{\log k}$。例如正方形放大2倍需4个副本（2维），立方体放大2倍需8个副本（3维）；科赫雪花放大3倍需4个副本，其维度为非整数的 $D = \log_3 4 \approx 1.26186$。同理，谢尔宾斯基三角形维度约为1.585，体积趋于0而表面积无穷大的门格海绵约为2.727；而一维生成的希尔伯特曲线因放大2倍需4个副本，维度恰好为2，能在极限下填满二维平面。海岸线悖论与自然分形的盒计数维度 (5:00) 理想相似维度无法直接套用于缺乏严格自相似性的自然物体。20世纪50年代，气象学家理查森发现西班牙与葡萄牙官方公布的陆地边界长度相差227公里（分别为987公里与1214公里）。原因在于自然边界的长度完全取决于测量尺子的刻度 $\varepsilon$：尺子越短，纳入的细碎海湾越多，总长度 $L(\varepsilon)$ 随刻度缩小而不收敛，两者满足幂律关系 $L(\varepsilon) \propto \varepsilon^{1 - D}$。1967年，曼德博在《科学》杂志发文，正式将该经验参数 $D$ 确立为分数维度的普遍定义。针对任意不规则形状，数学界采用“盒计数维度”（闵可夫斯基维度）进行实测：用边长为 $\varepsilon$ 的网格覆盖图形，统计接触图形的网格数 $N(\varepsilon)$。对幂律关系 $N(\varepsilon) \propto \varepsilon^{-D}$ 两边取对数，可在双对数坐标系下得到直线方程 $\log N(\varepsilon) \approx D \cdot \log(1/\varepsilon) + C$，其斜率即为维度 $D$。通过最小二乘法拟合真实地理数据，高度破碎的英国西海岸维度约为1.25，规整的南非海岸线则约为1.02。作者强调，自然界的物理分形仅在特定的宏观“标度窗口”（如几公里到几百公里）内成立，无法无限缩小至原子尺度。二进制漫步生成科赫雪花的重整化机制 (15:00) 回到开篇的谜题：当自然数 $n$ 的二进制数码和为偶数时海龟前进1单位，为奇数时逆时针旋转60度，为何能走出科赫雪花？该奇偶序列在数学上称为“图厄-摩斯序列”，遵循 $0 \to 01, 1 \to 10$ 的代换法则。由于海龟实际轨迹内部布满密集的多边形纹理，无法直接将0和1简单对应为标准L-系统（$F \to F + F - - F + F$）中的直行与转向指令，作者结合两篇数学文献，引入物理学“重整化”思想进行粗粒度分析。在64步（$2^6$）的宏观尺度下，序列块 $W$ 与其逐位取反的 $\bar{W}$ 恰好满足两个几何充要条件：整体行进方向严格相反（分别沿逆时针120度移动3单位、沿60度移动6单位），且终端朝向均相对初始方向逆时针旋转120度。将 $W$ 与 $\bar{W}$ 视为宏观的0和1，经过两轮代换（如 $W \to W\bar{W}\bar{W}W$），轨迹首尾位移方向不变，但中间由两段 $\bar{W}$ 隆起一个等边三角形鼓包。尽管单次迭代中 $W$ 与 $\bar{W}$ 的鼓包底边比例不均（分别为1/2与1/5），但在后续迭代中，大鼓包会生出小比例鼓包，长平线则生出大比例鼓包，这种交替嵌套的自平衡机制使宏观边界最终精准收敛为科赫雪花。整套生成机制本质上受控于两个代数常数：2进制与60度转角（即将圆周划分为6个模空间方向）。作者通过仿真实验指出，若打破这两个常数限制，切换为其他进制或转角，海龟漫步将呈现出迥异的动力学图景——或退化为笔直射线，或困于有限区域振荡闭环，又或呈现高度混沌并稠密覆盖平面，交织出其他奇异的分形结构。

Source quotes

[0:00] 漫士: 在第 $n$ 步时，若 $n$ 的二进制数码之和为偶数，海龟就向前直行 1 个单位；若为奇数，则原地逆时针旋转 60 度。 [0:00] 漫士: 之所以被称为“分形”（Fractal），是因为它的维度并不是整数，而是分数维度（准确地说是无理数维度）$D \approx 1.26186$。 [0:00] 漫士: 若将图形缩放 $k$ 倍需要 $N$ 个复制品，则 $k^D = N$，即 $D = \frac{\log N}{\log k}$。 [5:00] 漫士: 它虽然是一条一维线段生成的单线条，却在极限状态下严丝合缝地填满了整个二维正方形区域。 [5:00] 漫士: 海岸线的总长度随尺子变短而完全不收敛，尺度缩小到沙粒级别时总长甚至能绕地球转圈。因此，“英国的海岸线有多长？”这一问题本身没有固定答案，长度完全取决于测量尺度。 [10:00] 漫士: 在以 $\log\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)$ 为横轴、$\log N(\varepsilon)$ 为纵轴的双对数坐标系下，原本的非线性幂律转化为一条直线，而直线的斜率恰恰就是分形维度 $D$。 [10:00] 漫士: 在宏观观测尺度内，其复杂度的增长趋势等效于一个 1.25 维的几何对象 [15:00] 漫士: 自然数二进制数码和的奇偶序列，在数学上被称为图厄-摩斯序列（Thue-Morse Sequence）。 [15:00] 漫士: 这种大、小鼓包交替嵌套的几何反馈自平衡机制，让不均匀的比例在多轮极限演化下相互抚平，整体宏观边界最终精准收敛为经典的科赫雪花。 [20:00] 漫士: 数学上已经证明，只要构造出的基元满足这组几何对称条件，哪怕比例再奇异，无限展开后最终都会收敛为科赫分形。

Original transcript

[0:00] 注意看我要用数学给你变一个魔术这是所有的自然术而这是他们的二进制所谓二净制就是数字只有0和1每次加到2就会进位你也可以理解为,十进制数码由地到高,依次是个时百千万,它们分别是10的01234次方。把底数从10改成2就会变成124816等等这就是二进制所表示的基本单位了接下来我们把所有自然数的二进制数码加到一起比如说5是101那么加在一起就是2其他的数字也同理好最后重点来了,想象有一只小海龟不断的行走,在第N步时,如果N的二进制的数码核是偶数,那么它就前进一个单位,否则它就逆时针旋转60度的方向。接着我们让这只小海龟按照各种各样的自然树依此跑起来你就会看到这样的景象字幕志愿者杨茜茜是的这个海龟的踪迹七拐八弯之后竟然走出了一个著名的分形柯鹤雪花这是怎么回事呢好多人@我出一个解析那么解析来了点赞收藏数学启动让我们首先介绍一下科赫雪花从一根线段开始每次取其三等方点将其分成三段线段前后两段不动中间这一段向外做一个等边三角形将其替换为等边三角形的另外两条边此时一共就有四根线段对这四根线段再重复以上操作再重复以上操作不断的迭代重复,最终就会形成这样一条无限曲折的曲线。这就是科赫学化。可可雪花是一个经典的分形它有一些有趣的性质每次迭代曲线的长度会乘以四分之三因此整个分形的长度是无限大的但它和原始线段所围成的面积却显然是有限的因为它不会超过这个三角形此外就是自相自信者如果你取出其中一个小分支在放大就会发现它和原来的分形完全相同再取其中的四分之一放大还是和原来一模一样之所以叫分形是因为它的维度不是整数而是分数其实是无理数1.26186位更准确的来说是以三位底的4的对数位为什么呢要理解这件事我们首先需要从更高的角度来理解维度这个正方形是二维的这个立方体是三维的二和三这两个数字是怎么来的呢学过现形代数的朋友可能会说因为在其中能够最多找到两个和三个互相垂直的向量或者说建立坐标系之后我们需要至少两个坐标数字表示平面所以平面的维度是二而立体空间需要三个坐标维度是三但我们也可以这么看如果想要把正方形扩大两倍我们需要四个一模一样的正方形而我们知道在地围空间里尺寸扩大两倍体积会扩大2的d次方倍所以2的d次方等于4于是就能得到d等于2因此我们知道正方形是二维空间里的对象而如果是立方体想要扩大两倍我们需要八个一样的立方体所以2的d次方等于8于是d等于3从这个视角我们来看看科赫雪花想要把一个雪花扩大你们需要四份一模一样的副本然后这样拼在一起得到一个整体尺寸是原来三倍的分形这意味着整体的容量是原来的三的第四方而我们知道用了4个所以等于4这两个式子相等,我们就能得到D=log34了所以在数学分析里唯独有一个更通用的定义那就是想要把一个图形缩放k倍在地位空间里你需要N个相同的复制品那么就有k的d次方等于n学过高中数学对数的小伙伴知道,这可以进一步写成d=logk/logn你可能会问怎么没有底数呢答案是在这种比值式里底数不重要分子分母的底数相同就行它们都是相等的在一般情况下n d k这几个数字都是漂亮的整个数但在面对分形时就会有神奇的情况比如说还有一个著名的分形叫做谢尔滨 [5:00] 将它放大两倍需要三分自己的副本所以n等于3 k等于2你会发现维度是log2分之log3大约是1.585不是一个整数还有门阁海绵将它放大三倍需要20分所以维度是log3分之log20大约是2.727它的体积会趋近于0表面积趋向于无穷大是不是分形的维度一定都会有所损失呢?那不一定。比如说希尔伯特曲线,它放大两倍需要四分,log2分之log4正好是2。所以尽管它是一条能从头走到尾的曲线,可在极限下却把整个二维的正方形填满了,一点都不漏。在维度意义下和一个正方形没什么区别。到底是像希尔伯特曲线这样充满了维度,还是像柯鹤雪花和蒙哥海绵这样损失了维度,只有小数位。OK,好奇的观众可能发现了问题,这套方法有一个要求,那就是图形必须由几个自己缩小的副本完美拼成,才能数得出来要几份的这个N。科克雪花和希尔宾斯基三角形是满足的但自然界和数学里一般的对象拥有分数维度的很多但他们并不一定都是由几个自己拼成的换句话说不是所有的分行都一定是自相似的最典型的例子就是海岸线海岸线基本上都不是自相似的挪威的峡湾放大之后不会变成另一段挪威英国的海岸线也不会但海岸线的确是一种分形它没有一个确定的长度听起来很奇怪吧上世纪50年代英国人Lewis Fry Richardson在整理各国边境的数据的时候注意到西班牙和葡萄牙对同一条边界公布的长度竟然不一样一个是987公里一个是1214公里差了227公里那到底是谁量错了其实两边都没有量错差别处在他们所用的尺子上用200公里的尺子一节一节线段的去量所有小于200公里的弯都被跳过了换成50公里的尺子你就会钻进这些弯里量出来的长度自然会更长而且最奇怪的事情在于这种增长居然是没有上限的一般的异位曲线比如说圆周也会出现这种尺子分段越来越细的时候线段长度不断增加的情况,但它的周长最后会停在一个数字上,学名就是收敛到2πr这样一个数字。但是海岸线的长度在尺子不断缩小的时候竟然是不收敛的尺子每缩短一个数量级总长就会再涨一截一直涨到你开始数沙粒海岸线的长度几乎就能绕地球转圈了所以人们发现一个奇怪的事实英国的海岸线有多长?这个问题是没有答案的海岸线没有一个简单确定的周长它取决于你量它的尺子有多大Richardson转而去看这个长度是怎么变化的他把不同长度的尺子量出来的结果画在了一起发现这些点服从一条秘率:PowerLore用长度为Epsilon的尺子量出来的总长L Epsilon正比于Epsilon的某一个长数次方而这个指数只跟这条海岸线本身有关跟尺子无关我们把这个指数计为1减地海岸越平滑地越接近于1如果完全是一根平滑干净的一维曲线那么就是一所以长度是epsilon的零次方是一个长处而海岸线越破碎越曲折,这个地就会越大。当时Richardson只是把地当成了一个经验的参数记了下来。后来1967年Mandebrot在Science上发表了一篇论文,标题就是"英国的海岸线有多长?"副标题是统计字相似性与分数为他指出这个地就是海岸线的维度利用这个观察我们可以给出一个更一般的对维度的定义分形的核心特点是在越小的尺度下会越复杂长度越长那我们就可以用边长为epsilon的小方格把平面铺满看看这个图形一共碰到了多少个格子计这个数字为N Epsilon当然了有另一种等价的方式就是用编长为Epsilon小正方形覆盖所有的这个曲线定义最少需要的覆盖个数为N Epsilon虽然略有差别但是在格子越来越细 epsilon越来越小的时候我们关注的是两者变化的关系我们会发现它们是等价的我们可以画出1/1和nepsilon的图像它应该是一个密函数y等于x的a次方而前面我们说过长度L ε正比于ε的1-d次方格子数N ε差不多就是长度/ε [10:00] 所以Nε正比于ε的-d次方去到处之后画面当中的图像就应该是d次方因此只要找到了这个指数a它就是唯独d我们还可以做的更巧妙一点那就是把横坐标和纵坐标改为原来的对数这样原来的密函数关系就会变成一个简单的线形关系而且指数a正好变成了直线的斜率更容易看出来这个操作对什么图形都能做得了谢尔宾斯基三角形还是海岸线都可以所以它是一种更一般的对维度的定义巧妙的是,对于那些刚才特别的自相似的分析来说,这个方法刚好和之前的分析是相融洽的。比如说科赫雪花,取ε等于三分之一,整条曲线由四段组成,每段跨度正好三分之一,占一个格子,n等于四。那接着取ε等于九分之一,每段又分成四小段,n就会等于16。取ε等于三分之一的k字方,n就是四的k字方。组合盖住了四分之一的分支需要的总格子数就乘以四在图像上这意味着每次epsilon取三分之一代表epsilon分之一变成三倍而取对数之后横坐标增加log3而纵坐标变成四倍意味着纵坐标增加log4所以这就是一条笔直的斜线斜率就是log3分之log4等于log34刚好就是我们前面计算的步骤是不是很interesting呢用数格子这个方法叫做核技术维度也叫Mikowski维度接下来我们将会用它实战来看看海岸线用不同大小的格子覆盖海岸线把数量和边长的关系画出来你会发现的确在双对数坐标下有一个近似线性的关系但没有之前那么完美所以我们需要给一堆带噪声的点找最贴合的那条直线没错那就是中学学过的最小二乘法这么做出来英国西海岸的这个维度大约是1.25南非海岸大约是1.02这说明南非海岸基本上就是非常普通的一维曲线很平滑尺子变短几乎不会让它变长而英国的西海岸1.25和科赫区线的1.26几乎差不多意味着它非常的崎岖犬牙交错值得一提虽然数学上要求epsilon去向于0但真实的密率只在中间一段尺度上成立你不可能一路深入到分子和原子这种尺度这一段就叫做标度窗口所以说英国西海岸是1.25维更完整的说法是在几公里到几百公里的这段尺度里它的增长速度像一个1.25维的对象好了说完了分形的非整数维度让我们回来分析二进制为什么会产生可可血化将科赫雪花看作是一连串首尾相接的向量那么我们还有另一种构造过程就是每次把序列中的每一个向量F原地替换成四个小向量每个只有F的三分之一成。方向分别是FF逆时针转60度F顺时针转60度和F字节这四个小向量首尾相接起点和终点都和F一样只是中间鼓起了一个尖每个向量都这样原地展开各展各的互不影响如此操作之后整个序列就会变成原来四倍长同时多出了一级结构无限进行下去就会形成科荷雪花在更专业的记号系统比如说L-System里我们用这样的方式表示科学学化的生成过程那就是一个F变成F加F-F-F加F其中F代表向前行进加代表逆时辰转60度减表示顺时辰转60度右边的这一串里一个加号两个减号再一个加号转角会正好抵消所以海归走完这一串朝向和直走一个F是一样的如果每个F直走原来的三分之一更好停在原来那个F的终点上一个F展开以后这一段的起点终点和出去的朝向都没有变后面的路也一点都不受影响所以每个F都可以原地展开利用这个规则,我们可以每次把序列里所有的F,同时替换成右边的这一长串符号,+号和-号原样留着。比如说第二轮有四个F,就在四个地方同时各鼓起一个小尖,这样就能得到越来越长的行走序列,遵照这个序列行径,就会走出科赫雪花的轨迹。好的现在回到开篇的问题你是不是以为只要把F换成0加号换成1减号换成5个1我们就找到了二进制序列和柯鹤雪花行走序列的完美对应从而解释了视频开头的神奇现象呢我一开始也是这么想但后来发现事情远没有这么简单首先仔细看看你就会发现这个序列并不严格对应 [15:00] 再仔细看看这个海龟实际走出的轨迹你会发现也不是很干净的柯鹤雪花而是带有各种平行四边形和三角形的纹理这个问题远远没有看来那么简单为了搞明白这个问题我咨询了GPT还调查了文献最终发现了两篇20年前的文献比如说Wintermoist means Koch和Generalized Termoist Sequences and the Wong Koch Curve我一顿狠狠研究之后发现这个问题还真不简单而且确实很有意思接下来就让我为你揭秘首先让我们仔细看看这个海归的行走序列也就是所有自然数二进制数码的机有性它是一长串01这个序列有一个非常显著的规律那就是任意取一个2的密次比如说8并且将这个序列分成前后两半你会发现这两段一定每一位的01都是恰好相反为什么呢回想一下定义你就能明白原因因为任何对应的两个整数它们刚好相差2的k次方所以其二进制数码一定指在最高位相差了一个1因此它们和的机偶性一定相反知道了这个规律我们就可以从0开始每次把已有的序列逐位取返,然后接在后面,反复重复这个过程,我们就能收敛到一串无穷长的序列。这个序列有一个专门的名字,叫特莫斯序列。数学家们已经意识到,这个序列会生成科赫雪花,可为什么呢?这个论文里用了一些复杂和一般的定理来解释,我全部消化之后找到了一个最为简明和本质的解释路径。可以看一眼明白背后的原因整个问题的关键在于我们需要将分析的尺度放大一些就像重整画一样不难注意到前64部所组成的图形会形成一个基本的单位我们会把它叫做WW会画出一个山峰的纹理同时向着原始方向逆时针旋转120度的方向前进三个单位最终的朝向相较于初始方向逆时针旋转的120度将这64步逐步取返会得到W一拔它整体的效果是朝着初始方向逆时针旋转60度的方向走出6个单位的距离最终朝向同样相较于初始逆时针旋转120度所以我们可以做更粗线条的操作不考虑中间画出的纹理只考虑始末位置那么W和W拔就变成了很干净的行走它们行走的方向相反距离是1比2最终状态的转角是相同的在这个颗粒度下我们再来看看整个序列是怎么走的刚才说Termois序列是整串取反接在后面长出来的它还有另外一种等价的长法就是每一位原地展开0变成011变成10比如说0110每一位展开成01101001拼出来就是01101001和取反接在后面得到的是一模一样的这个L-System里每个F原地展开是同一种升上方式第64步时,海归第一次走出了完整的W,这个W其实就是一个0这样展开6次长出来,而W8是一个1展开6次长出来。所以在积木这个尺度上,W就像0一样,每次序列的迭代复制会把序列里每个W原地变成W8,把W8原地变成W8W。这意味着每经过两次迭代W就会变成WW8W8W而W8会变成W8WWW8我们把它画出来你会发现W展开之后的四步整体移动的方向并没有变起点和中间的转角也还是120度但中间拱起来了一个三角形这个前面我们说的L-System的这个F加F进进F加F的局部展开非常类似和W8的展开也是一样先走六格中间两块的W鼓起一个小三角形再走六格整体行进的方向和起点中间的转角都和一个W8完全一样到这里我们就能一目了然了每经过两次迭代复制趋反原来的序列长度会扩充为4倍每个W和W8都变成了中间隆起小三角形的形状不过和标准的科赫雪花迭代相比它差在比例上W鼓起的这个三角形会偏大占整个尺度的1/2而W8偏小只有1/5都不是标准的三等分但如果再来一次W所对应的大骨包上面的两条边是W拔而我们知道W拔迭代下一次的骨包会偏小而两边的水平线根据W的迭代法则则会骨包偏大这样无限迭代下去每条边一定是一次大骨包一次小骨包不均匀的大小比例会正好平衡整体依然呈现出标准的科赫学花形状还有一些最后的谜团为什么我们要选64座单位呢 [20:00] 因为我们希望这个单位W和它的逐位曲反整体所带来的效果是位移相反转角都是相同的120度在这个意义下64是最小的单位而事实上我们已经证明只要满足这两个条件我们还可以构造其他的迭代规则比例不同最终跑出来的全都是科学学化既然二进制的数码能走出磕磕血花,万能别的进制会怎么样呢?回头来看,原来那条规则里出现的数字其实只有两个,进制2和转角60度。60度的意义是把一整圈分成6等分,海归的朝向从头到尾只会是这6个方向之一,每转一次弯,方向编号就+1,加满6格便转回原处。所以这个现象本质上是二进制数码和6个等分方向上做加减。而2和6都可以换成别的数所以我照着这个规则写了一个小程序试了一圈发现其他的静置会生成各种有趣的图案比如说有的会走出一条直线有的会在一个有限的地图上来回循环有的会一通乱走几乎稠密的覆盖整个平面出神奇的分形是不是很有趣呢以上就是这期视频的全部内容在之后的视频里我们还将深入讲解更多有关分型的有趣知识如果你对这样的内容感兴趣千万记得点赞关注不迷路你还知道哪些有趣的类似现象呢记得分享在评论区曼时陈思路学海引路不辛苦我们下期再会