清华学者借旋转质心重构傅里叶变换 直观证毕巴塞尔难题

清华学者借旋转质心重构傅里叶变换 直观证毕巴塞尔难题 通过将复杂轨迹映射入目标频率旋转系，非共振分量在时间积分下因对称性归零，使傅里叶逆向拆解与能量守恒推导彻底摆脱抽象代数。 视频从古典天文学的本轮均轮与“圆上加圆”旋转积木沙盒游戏切入，将复杂的曲线拟合抽象为首尾相连的旋转向量链。为了破解从目标轨迹逆向反解各圆盘参数的难题，漫士引入参考系旋转思想，证明在对应频率的旋转视角下，其余运动分量积分平均归零，目标向量末端即为整条轨迹的质心。随后内容自然过渡到复指数与欧拉公式的代数表述，导出傅里叶级数与频域变换的本质，并结合帕塞瓦尔定理与方波展开，以极其优雅纯粹的几何直观严格证明了巴塞尔问题。 傅里叶变换的直观几何本质是“圆上加圆”的沙盒游戏，任意连续闭合周期轨迹均可由一组不同整数倍旋转速度的向量首尾相接高精度拟合。 (0:44) 傅里叶逆向参数求解可通过旋转参考系实现：使坐标系与目标频率同步逆时针旋转，目标向量将定格静止，而其余正交频率分量在周期积分内均值抵消为零，整条轨迹的质心直接落在目标向量末端。 (8:06) 帕塞瓦尔定理确立了时域与频域的能量守恒：信号在时域的平均功率严格等于频域所有傅里叶系数模长的平方和，其几何本质在于不同频率分量交叉乘积项在周期内的积分为零。 (28:32) 借助幅值为 π/2 的周期方波及其缠绕质心分析，结合帕塞瓦尔能量守恒定理，以纯物理与几何直觉严格求得了巴塞尔问题的精确解 π²/6。 (30:32)

漫士指出，傅里叶变换在几何本质上可理解为通过多层嵌套旋转圆盘（旋转向量）拟合复杂周期的逆向工程；通过建立旋转参考系实现“反向缠绕求质心”，可以直观解析任意信号的频域分量。 几何拟合的千年渊源：从本轮均轮到向量链条 (2:38) 通过将带有转速编号的圆盘打孔嵌套，多层复合旋转的末端笔尖能绘制出三尖瓣线、花瓣线乃至任意手写签名。这一沙盒模型的思想源头可追溯至古希腊托勒密天文学。古人为了在“神圣匀速圆周运动”的框架内解释行星逆行，设计了小圆“本轮”套在大圆“均轮”上的几何模型，甚至哥白尼在提出日心说后仍沿用了30余个本轮与均轮来拟合轨道，构成了人类历史上首台曲线拟合机。将物理圆盘剥离装饰后，复合运动的本质是一串首尾相接的旋转向量。由于向量加法满足交换律，圆盘的串联次序不影响合成轨迹，从而将拟合问题提炼为纯粹的数学反问题：给定闭合周期曲线，如何反解出各个整数频率旋转向量的模长与初始幅角。 旋转坐标系与反向缠绕：利用质心剥离单频信号 (8:06) 为了单独测量某一特定频率的分量，漫士借用《星际穿越》中飞船与旋转空间站同步对接的思路，让观察者坐标系以目标分量相同的角速度旋转。在这一视野下，目标向量被定格为静止点，其余向量相对于该坐标系的转速仍为整数倍。由于任何匀速旋转整数圈的同心圆几何重心都在原点，根据积分与求和的线性可交换性，整条纠缠曲线的时间平均质心恰好精准落在被固定的目标向量末端。在极坐标中，该操作表现为将曲线幅角减去旋转角进行“反向缠绕”映射：$(\rho(t), \theta(t)) \to (\rho(t), \theta(t) - 2k\pi t)$。以三尖瓣线为例，反向缠绕仅在构成该曲线的特定频率处产生偏离原点的质心“共振峰”，其余频率均因高度对称性导致质心归零。 欧拉公式与傅里叶级数：函数空间中的坐标展开 (21:42) 在复平面中，乘以虚数单位 $i$ 对应逆时针旋转90度。复指数函数 $e^{it}$ 对时间的导数满足自乘 $i$，其速度大小恒为1且始终与径向位置垂直，由此导出了匀速圆周运动与欧拉公式 $e^{it} = \cos t + i\sin t$。任何周期为1的连续运动 $f(t)$ 均可展开为基底正交的旋转分量叠加 $\sum c_k e^{2\pi i k t}$。求解傅里叶系数 $c_k = \int_0^1 f(t) e^{-2\pi i k t} dt$ 正是“反向缠绕并求周期积分均值”的代数体现。当处理非目标频率时，积分为零，唯有目标分量得以显形。这一数学正交机制正是现代移动通信与射频芯片在复杂电磁波中解调目标频段信号的核心原理。 帕塞瓦尔定理与能量守恒：巴塞尔问题的几何证明 (28:32) 时域中信号各分量模长平方的时间平均，在展开后其交叉项积分由于旋转对称性全部归零，从而导出帕塞瓦尔定理：时域平均功率 $\int_0^1 |f(t)|^2 dt$ 严格等于频域傅里叶系数的平方和 $\sum |c_k|^2$。漫士利用该能量守恒关系给出了求解巴塞尔问题 $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ 的几何推导：构造一个端点在 $\pm \pi/2$ 跃迁的方波，其时域平均功率恒为 $\pi^2/4$；通过缠绕法分析，偶数项整圈对称抵消为零，奇数项因半圆重叠得出系数模长为 $1/|n|$。联立后得出全体正奇数倒数平方和为 $\pi^2/8$；再利用奇数项占全体级数总和四分之三的关系，严密推导出巴塞尔问题的解为 $\pi^2/6$。 傅里叶变换不仅为现代信号处理与经典数学难题提供了强有力的计算工具，也揭示了一种深刻的观察视角：在纷繁复杂的噪声叠加中，只需选择与目标同频的旋转参考系，干扰成分便会在周而复始的周期积分中自行抵消，使核心信号清晰显现。

[0:01] 漫士: 点赞收藏，数学启动 [4:55] 漫士: 如果给定一条我心仪的目标曲线（比如手写签名），我究竟该挑哪些圆盘？每个圆盘的半径要多大？初始时的打孔角度分别又是多少？ [10:36] 漫士: 在跟随旋转的视野下，这一团看似凌乱的纠缠曲线，其“质心”（重心）恰好精确落在被固定的目标向量末端上！ [21:42] 漫士: 平方得负岂荒谬，左转两次便回头。 [21:42] 漫士: 模长相乘，辐角相加 [33:36] 漫士: 坚定地跟着你关注的那个圆盘一起旋转 [33:36] 漫士: 只要跟上专注的节奏，背景噪声自会隐去，目标终会在眼前清晰伫立。

[0:01] 注意看这有一堆旋转的圆 [0:03] 但将它们拼接在一起 [0:05] 末端就会绘制出精美的图案 [0:08] 而这背后的原理 [0:10] 远远不只是一种工艺美术那么简单 [0:12] 而是一种在今天信号处理计算机 [0:15] 网络等无数领域都在使用的数学 [0:17] 傅里叶变换 [0:19] 在之前的视频中 [0:20] 我们已经介绍了如何从基底 [0:22] 向量的视角理解傅里叶变换 [0:24] 但对于最后的完全体 [0:26] 也就是画面上这些圆上 [0:27] 加圆的原理没有讲解 [0:29] 那么在这一期加长篇的下集中 [0:32] 我们将会从这些看起来像 [0:33] 是游戏一样的圆圈出发 [0:35] 带你真正理解 [0:36] 傅里叶变换精妙的本质 [0:38] 点赞收藏 [0:39] 数学启动 [0:44] 来我们来玩个游戏 [0:46] 桌面上有一系列圆盘 [0:48] 中心有一根转轴 [0:50] 这些圆盘有编号 [0:51] 编号都是整数 [0:52] 代表这个圆盘在同样的 [0:54] 时间内会逆时针转几圈 [0:56] 比如说1号圆盘会转一圈 [0:59] 3号圆盘在同样的时间里会转3圈 [1:02] 如果是一个负数 [1:03] 意思就是反过来顺时针转 [1:05] 比如说负2号 [1:06] 就是在相同时间内反向的转两圈 [1:09] 特别的 0号圆盘就是一个 [1:11] 固定不会转动的盘子 [1:13] 每个盘子都只有刚好一个 [1:16] 你可以做这样的事情 [1:18] 在一个盘子上打一个孔 [1:20] 把另外一个盘子的 [1:21] 转轴插到这个孔里 [1:22] 然后一起转起来 [1:24] 此时这个盘子就会一边 [1:27] 中心在跟着一块公转 [1:28] 同时自己在自转 [1:30] 你甚至可以在第二个圆盘上再打孔 [1:33] 插入第三个圆盘 [1:35] 那么第三个圆盘圆周上的点就会 [1:38] 经历一个非常复杂的运动过程 [1:40] 这个盘子还可以叠加的越来越多 [1:47] 好了规则就这么多 [1:48] 我们随手玩几把 [1:50] 只用两个盘 [1:51] 1号和负2号 [1:53] 其中1号盘的半径为2 [1:55] 负2号盘的半径为一 [1:57] 一开始它们的方向都朝向右边 [2:00] 那么此时笔尖就会画 [2:01] 出一颗规整的三尖星 [2:04] 数学家管这条曲线叫做三尖瓣线 [2:07] 也叫三尖内摆线 [2:09] 多加几个盘就可以滚出滚圆的花瓣 [2:13] 缠绵的玫瑰线等等等等 [2:15] 再多加一些 [2:16] 你还可以实现这样的效果 [2:18] 笔尖匀速的滑到一头 [2:21] 啪嗒一声再弹回起点 [2:23] 就像老式打字机的滑架 [2:25] 等到盘足够多 [2:27] 什么大象啊 [2:28] 雪花呀你的签名啊 [2:30] 通通都不在话下 [2:32] 它就像一个沙盒 [2:33] 一堆简单的转圈叠加起来 [2:35] 却可以画出各种各样的图形 [2:38] 你可能以为这是现代人 [2:39] 为了做动画而发明的东西 [2:41] 但它的历史其实已经有2,000年之久 [2:44] 这个游戏的第一批 [2:45] 玩家是古代的天文学家 [2:47] 在当时的宇宙观里 [2:48] 天上的星星必须做 [2:50] 完美的匀速圆周运动 [2:51] 因为整个天空就像一个大球壳 [2:54] 星星稳定的嵌在上面 [2:55] 跟着一块转 [2:57] 那这样的星星就叫做恒星 [2:59] 不变的星 [3:00] 然而古希腊人观测的时候 [3:02] 发现还有一些奇怪的星星 [3:04] 比如说火星 [3:05] 在星空的背景上走着走着会 [3:07] 减速停住倒车再掉头继续往前走 [3:12] 这就是所谓的行星逆行 [3:14] 火星金星水星都会逆行 [3:17] 顺带一提 [3:18] 今天网络语境里的水逆 [3:20] 指的就是水星逆行 [3:21] 会带来各种不走运 [3:23] 这个说法来自于西方占星术 [3:25] 那为了解决这个问题啊 [3:27] 天文学家采取了一个巧妙的办法 [3:29] 正是这个圆上加圆的游戏 [3:32] 让火星在一个小圆上匀速的转动 [3:35] 这个小圆叫做本轮 [3:36] 而本轮的圆心又绕着一个 [3:39] 绕地球的大圆匀速转动 [3:41] 这个大圆叫做均轮 [3:43] 两层旋转一叠加 [3:45] 从地球的角度上看去 [3:47] 火星就会时快时慢 [3:49] 走到特定的相位时 [3:50] 甚至会真的倒退 [3:52] 和天象完全对上了 [3:54] 后来观测的精度越来越高 [3:56] 天文学家就不断地往上加圆 [3:59] 小圆上再摞更小的圆 [4:01] 托勒密把这套体系写进了至大论 [4:04] 统治了西方天文学1,400多年 [4:06] 连哥白尼把太阳 [4:08] 搬到宇宙中心的时候 [4:10] 也没能扔掉这些圆 [4:11] 他的系统中 [4:13] 虽然太阳在正中间 [4:14] 但同样其他的星星是 [4:16] 30多个轮上轮转的 [4:18] 因为那个时候 [4:19] 还没有开普勒告诉世界 [4:21] 行星的轨道不是完美的圆 [4:22] 而是椭圆 [4:24] 西方哲学一直认为 [4:25] 自然和宇宙应该是完美而永恒的 [4:28] 而最完美的几何图形只能是圆 [4:30] 形成了执念 [4:31] 那今天呢 [4:32] 我们回头看 [4:33] 古人的本轮和均轮 [4:35] 本质上就是人类历史上 [4:37] 的第一台曲线拟合机 [4:39] 用一堆匀速旋转的圆去 [4:41] 逼近一条任意的轨迹 [4:43] 方向是完全正确的 [4:44] 只不过他们没有想到 [4:46] 这台机器的能力极其强大 [4:48] 几乎任何连续的周期轨迹 [4:51] 只要用的圆足够多 [4:52] 你就可以拟合的任意精确 [4:55] 那么问题就来了 [4:56] 我先给定一条我心仪的目标曲线 [4:59] 比如说我想让这个 [5:00] 机器画出我的签名 [5:02] 那我该用哪些圆盘呢 [5:04] 每个圆盘的半径是多大 [5:06] 又分别从哪个角度出发呢 [5:08] 这个反向问题才是傅里叶 [5:11] 分析真正要回答的问题 [5:12] 也是这期视频接下来的全部 [5:15] 要解决反向问题 [5:17] 我们首先要把圆盘变成 [5:18] 更容易分析也更本质的东西 [5:21] 注意看每个圆盘上真正 [5:23] 起作用的其实只有两个点 [5:25] 转轴和我们打的那个孔 [5:28] 盘面和圆边其实全是装饰 [5:31] 从转轴到打的孔中间连一根箭头 [5:34] 那圆盘匀速旋转 [5:36] 本质上就是这根箭头绕 [5:38] 着自己的尾巴匀速转圈 [5:40] 因此整个过程的本质不是一堆圆盘 [5:43] 而是一串首尾相接的箭头 [5:46] 第一根箭头从中心出发 [5:48] 而第二根箭头的尾巴 [5:50] 接在第一根的头上 [5:51] 第三根再接在第二根的头上 [5:53] 而笔尖就顶在最后一根箭头的末端 [5:57] 高中数学里 [5:58] 我们管这种箭头叫做向量 [6:00] 它有两个属性 [6:01] 长度和方向 [6:03] 而两个向量相加 [6:04] 就是把后一根的尾巴 [6:06] 接到前一根的头上 [6:07] 再从总的起点指向总的终点 [6:11] 初中几何告诉我们 [6:12] 这也等价于把两个 [6:14] 箭头的起点放到一块 [6:15] 把它们作为邻边画出平行四边形 [6:18] 然后连出这个平行四边形的对角线 [6:20] 两种做法会表示同一个结果 [6:23] 这也可以用坐标理解 [6:24] 随便建一个坐标系 [6:26] 向量的加法就是横纵坐标分别相加 [6:28] 那上面两个思路说的都是这件事 [6:31] 于是一堆向量相加就有了两种视角 [6:35] 第一种就像刚才那样 [6:36] 画一整个链条 [6:38] 起点是原点 [6:39] 然后首尾相连 [6:40] 最终整个链条的末端 [6:42] 就是所有向量的和 [6:44] 第二种视角是让所有 [6:46] 向量共享一个起点 [6:48] 每次挑两个用平行四边形法则合并 [6:51] 直到最后合并成一根箭头 [6:53] 这两种结果都一定相同 [6:55] 都是此刻笔尖的位置 [6:58] 这同时告诉我们一个有意思的事实 [7:00] 这些圆盘谁装在谁的 [7:02] 身上根本都不重要 [7:04] 任意调换叠放的顺序 [7:06] 每个时刻都是完全相同 [7:07] 的一堆向量加到一起 [7:09] 所以画出的轨迹一定完全相同 [7:13] 于是沙盒游戏本质上 [7:15] 变成了一个拼积木的游戏 [7:17] 每块积木是一个以 [7:18] 不同速度旋转的向量 [7:20] 而我们关心的其实是反向的游戏 [7:23] 那就是如何设计出一些旋转的向量 [7:25] 使得它们搭配起来画出 [7:27] 我们原本想要的形状 [7:29] 这就是一道干净的数学题了 [7:31] 给定一条周期性重复的曲线轨迹 [7:34] 我们应该选哪些旋转速度的向量 [7:38] 每根向量是多长 [7:39] 初始的角度是多少 [7:41] 才能使得它们拼在一起转起来之后 [7:43] 末端的轨迹恰好描绘出这条曲线 [7:47] 其实第一步选向量 [7:49] 的过程都可以省掉 [7:50] 因为不选就相当于把半径定成了0 [7:53] 怎么转对总和都没有贡献 [7:55] 所以整个问题就变成了 [7:57] 如何确定每个旋转向量 [7:59] 的模长和初始的幅角 [8:01] 才能够画出一个 [8:03] 预先给定的闭合曲线 [8:06] 让我们先从最简单的情形起步 [8:08] 如果整个图形就是一个圆转一圈 [8:11] 那么没什么好说的 [8:12] 直接选1号旋转向量 [8:14] 把长度调整到和半径相等 [8:16] 那么启动机器就会画出 [8:18] 一个一模一样的圆形 [8:20] 好现在加大难度 [8:22] 已知这个图案是用 [8:23] 两个圆盘画出来的 [8:25] 该怎么确定用几号圆盘 [8:27] 半径是多少呢 [8:28] 这个问题乍一看还挺难的对吧 [8:30] 所以我们再给一些提示 [8:32] 已知用的是1号和3号的圆盘 [8:35] 我们先考虑1号盘的孔应该 [8:37] 打在离转轴多远的地方 [8:39] 也就是1号旋转向量的长度是多少 [8:42] 即便如此 [8:43] 问题还是很复杂 [8:44] 看起来除了一个个尝试不同的半径 [8:47] 不断的组合去逼近 [8:49] 我们没有什么别的好办法可以 [8:51] 精确算出这两个圆盘的半径 [8:54] 真的这样吗 [8:55] 其实有一个非常巧妙的办法 [8:57] 而且我们在电影里都看过 [8:59] 那就是跟着一起转起来 [9:02] 在星际穿越里 [9:03] Cooper为了能对接成功 [9:05] 让自己的飞船和空间站一起旋转 [9:07] 直到两者相对静止 [9:09] 完成了对接 [9:10] 那现在既然画笔同时参与 [9:13] 了两个旋转向量的叠加 [9:15] 那我们只需要让我们 [9:17] 整个世界的视角也跟着某 [9:20] 个向量一起绕原点转动 [9:35] 此时在我们的视野里 [9:37] 被跟随的那根向量就固定不动了 [9:40] 只剩下另一根向量在独自打转 [9:43] 所以在这个视角下 [9:44] 画笔的轨迹就从原来的复杂 [9:46] 的曲线变成了一个简单的圆 [9:49] 这是非常自然的 [9:50] 因为画笔本质上就是绕 [9:52] 着第一根向量的末端 [9:53] 由第二根向量带着转圈 [9:55] 需要注意的是 [9:56] 这个圆被走了几遍 [9:58] 取决于两根向量的转速之差 [10:00] 3号盘相对于1号盘 [10:02] 每个周期会多转3-1=2圈 [10:05] 所以在我们跟着一起转的视野里 [10:07] 这个圆会被走两遍 [10:10] 此时只需要取出这个轨迹圆的圆心 [10:13] 它就是1号盘向量的末端 [10:16] 我们也就由此得到了1号盘的半径 [10:19] 那就是这个点到原点的距离 [10:21] 以及这根向量一开始的角度 [10:24] 在这个只有两根向量的例子里 [10:27] 圆的半径同时告诉了 [10:28] 我们3号盘的半径 [10:30] 而起点相对于圆心的方向也 [10:32] 告诉了我们3号向量的初始角度 [10:34] 信息是齐全的 [10:36] 但是一旦向量多于两个 [10:38] 运气就没有那么好 [10:40] 即便固定住一根向量 [10:41] 剩下的图形是由几根向量 [10:44] 合成的乱七八糟的轨迹 [10:46] 仍然是一个复杂的图形 [10:47] 而不是简单的圆 [10:49] 此时它就没有圆心 [10:50] 这样简单易取的位置 [10:52] 我们也就不知道1号 [10:53] 向量的末端到底在哪 [10:55] 那该怎么办呢 [10:56] 这里不卖关子 [10:58] 1号圆盘向量的末端 [11:00] 有一个优美的性质 [11:02] 那就是它一定恰好是 [11:04] 这团缠绕曲线的质心 [11:07] 质心更通俗的名字是重心 [11:09] 具体的做法是把一个周期 [11:11] 的时间等分成很多个小段 [11:13] 取出每一小段里笔尖所在的位置 [11:16] 再算出这些位置横 [11:18] 坐标和纵坐标的平均值 [11:19] 当分的段数趋于无穷多时 [11:22] 这两个平均值坐标所对应 [11:23] 的点就是这段轨迹的质心 [11:26] 这里必须按时间等分 [11:27] 而不是弧长等分 [11:29] 因为我们真正要平均的 [11:30] 是每个时刻的笔尖在哪 [11:33] 刚才用圆找圆心 [11:34] 就是质心的一个特例 [11:37] 你可能会问 [11:38] 为什么这团曲线的质心一定是 [11:40] 被固定的那根向量的末端呢 [11:43] 原因是在跟着一起旋转的视角下 [11:46] 我们所看到的新的轨迹 [11:48] 是若干根仍然在旋转的 [11:50] 向量之和的末端的轨迹 [11:52] 而问题的核心在于 [11:54] 我们不知道这团轨迹由 [11:55] 哪几根向量旋转组成 [11:57] 也不知道它们的起点在哪里 [12:00] 但这些旋转向量有一个重要的共性 [12:03] 它们的旋转速度都是 [12:05] 整个轨道周期的整数倍 [12:06] 在一个完整的周期观察里 [12:09] 这个视野当中的画笔 [12:10] 走了一圈的复杂轨迹 [12:12] 而每一根向量都一定 [12:14] 恰好转了完整的整数圈 [12:17] 所以我们可以把所有 [12:18] 向量的起点合到一起 [12:20] 让每根向量各自在同心圆上转动 [12:23] 单独看每根向量的轨迹就是一个圆 [12:26] 更正确的来说就是被 [12:28] 匀速走了整数遍的圆 [12:30] 它的质心当然都在圆心上 [12:33] 有了这一点 [12:34] 我们就能证明 [12:35] 如果一段曲线确实是由 [12:36] 几根旋转的向量叠加出来的 [12:39] 那么整个轨迹的质心一定 [12:40] 是所有向量的共同起点 [12:43] 推理是这样的 [12:44] 我们把每个时刻轨迹上的点 [12:47] 先写成向量首尾相接的链条形式 [12:50] 再变成共享起点的形式 [12:53] 于是曲线上的每一个点都可以拆 [12:55] 成这几个同心圆上的向量之和 [12:58] 每个同心圆刚好有一个向量 [13:00] 当我们对整条轨迹求平均向量时 [13:03] 我们可以把轨迹上 [13:04] 的每一个点都分裂 [13:06] 分散到这几个同心圆上去 [13:08] 在求平均的意义下 [13:10] 二者等价 [13:11] 当原来的点在轨迹上 [13:13] 跑遍所有的位置之后 [13:15] 这些分裂的点也刚好会在 [13:17] 每个同心圆上跑遍所有的位置 [13:20] 所以原来对曲线求质心 [13:22] 就变成了对这几个同心圆 [13:24] 分别求质心的位置再相加 [13:27] 而既然每个圆的 [13:28] 质心都在共同的起点 [13:29] 也就是圆心上 [13:30] 那么整条曲线的质心 [13:32] 也就在这个圆心上 [13:34] 证明完毕 [13:35] 刚才这通推导啊 [13:36] 几何上很直观 [13:37] 但叙述上有点啰嗦 [13:39] 如果你熟悉微积分的语言 [13:40] 那就是向量只有有限根的时候 [13:43] 那这不过是一个积分的线性性 [13:45] 求和与积分可以直接交换 [13:47] 圆盘有无穷多个时 [13:49] 需要有一致收敛之类的条件 [13:51] 来保证交换顺序是合法的 [13:52] 这里就不再展开 [13:53] 但一般如果这个曲线是连续的 [13:56] 这都是成立的 [13:58] 现在利用跟着一起转的思路 [14:00] 我们就可以有一套完整的逆向方法 [14:03] 想要确定任何一个k号 [14:05] 圆盘所对应的向量 [14:06] 因为叠放顺序无所谓 [14:08] 那我们就把k号圆盘放到最里面 [14:11] 起点就是原点 [14:13] 同时让我们观察的这个摄像机 [14:15] 视角绕原点也每周期逆时针转k圈 [14:18] 此时k号盘就不再旋转 [14:21] 画笔的轨迹本质上是其余 [14:23] 圆盘向量旋转的结果叠加 [14:26] 在这个视角下 [14:27] 把画笔的轨迹画出来 [14:29] 取出它的质心 [14:30] 我们就能知道k号圆盘 [14:32] 的半径和初始的角度 [14:34] 那把每个圆盘都拿到 [14:36] 中心这么操作一遍 [14:37] 所有的参数就都到手了 [14:40] 刚才这套旋转整个世界 [14:42] 的表达还是有点费劲 [14:44] 因为它的物理色彩过于浓厚 [14:46] 相比较让摄像头自己跟着转 [14:49] 数学里更直接的做法是 [14:51] 我们直接分析转起来之后所 [14:53] 看到的这个曲线轨迹本身 [14:56] 也就是关心 [14:57] 当摄像头跟着k号盘 [14:59] 一起转起来的时候 [15:00] 我们看到的轨迹会如何变形 [15:03] 那首先要统一一下设定 [15:05] 我们可以直接把整个 [15:06] 轨迹的质心放在原点 [15:08] 这样根据刚才的分析 [15:09] 我们就不需要0号盘了 [15:11] 同时把一个周期的时间规定为一 [15:14] 也就是t从0走到1时 [15:16] 笔尖正好走完一圈 [15:18] 画完整个轨迹 [15:20] 那么还是考虑刚才两个向量的情况 [15:22] 我们用极坐标来表示 [15:23] 曲线上的每一个点 [15:25] 所谓极坐标就是不用 [15:26] 直角坐标的横纵坐标 [15:28] 而是用到原点的距离ρ以及从x轴 [15:31] 逆时针转过的幅角θ来表示一个点 [15:34] 更精确地说 [15:35] 因为整个轨迹可能绕过不止一圈 [15:37] 所以这里的幅角应该 [15:39] 理解为在整个运动过程中 [15:41] 笔尖与原点的连线从 [15:43] 运动开始累计转过的角度 [15:45] 于是画笔的位置就是 [15:47] 一个关于时间的函数 f(t) [15:49] 它可以拆分成长度 [15:50] 函数 ρ(t) 和角度函数 θ(t) [15:53] 之所以要采用这种表示方法 [15:56] 是因为在镜头绕 [15:57] 原点旋转的过程当中 [15:59] 所有点到原点的距离 [16:00] 这个 ρ(t) 函数是不会变的 [16:02] 而唯一变化的只有这个幅角函数 [16:05] 那么幅角函数会如何变化呢 [16:07] 这个过程很像我们在小学 [16:09] 奥数里所提到的追及问题 [16:11] 如果视角不旋转 [16:13] 那么在t时刻画笔的位置 [16:15] 的幅角就是原来的 θ(t) [16:17] 但现在整个摄像头在t时间里也 [16:20] 逆时针转过了一个角度 β(t) [16:22] 所以在我们的视野里 [16:24] 它相较于水平x轴里转过的夹角 [16:26] 要从 θ(t) 再减去 [16:28] 我们追上的夹角 β(t) [16:30] 那在我们的视野里 [16:32] 它的夹角就是 θ(t) 减去 β(t) [16:35] 第一项由一开始就 [16:36] 设计的本身轨迹给出 [16:38] 而 β(t) 是什么呢 [16:40] 那就是我们画面 [16:41] 匀速旋转转过的角度 [16:43] 我们是跟随一个周期转 [16:46] k圈的圆盘向量转的 [16:47] 那么视角在一个周期里 [16:49] 就会转过 2kπ 的弧度 [16:51] 所以比例系数就是 2kπ [16:53] 那么经过一个时间t呢 [16:54] 我们的视野就转过 2kπt [16:57] 这就是 β(t) [16:59] 所以我们就得到了 [16:59] 一条简单的变换规则 [17:01] 当我们跟随每周期逆时针 [17:03] 转k圈的k号向量旋转时 [17:05] 轨迹上所有点的极坐标会从 ρ(t) [17:07] θ(t) 变成 ρ(t) [17:09] θ(t) 减 2kπt [17:11] 只要把每个点的幅角 [17:13] 都做这样一个改动 [17:14] 就能直接在原来的极坐 [17:16] 标系里看到转起来之后 [17:18] 我们所看到的画笔的轨迹 [17:20] 让我们做一个实验 [17:22] 左边是利用这种变换得到的曲线 [17:25] 右边是画笔一边画画 [17:27] 摄像头一边不断旋转的实景 [17:29] 你会看到这两者的确完全一致 [17:33] 那有了这个变换 [17:34] 我们就不需要自己真的转起来了 [17:36] 你可能注意到 [17:37] 从图像上来看 [17:39] 这个变换做的是一个缠绕的动作 [17:42] 原来的这个画笔的轨迹像一根弹簧 [17:45] 而这个操作会把它反向缠绕k圈 [17:48] 在这样的操作之后 [17:49] 我们再找出整个轨迹的质心 [17:52] 质心所对应的模长和幅角 [17:54] 正是我们最初关心的k [17:56] 号圆盘所对应的半径 [17:57] 以及打孔位置的初始角度 [17:59] 我们立刻得到了这个 [18:01] 圆盘的全部配置参数 [18:03] 那接下来只要用各种不同 [18:05] 的圈数去缠绕这条轨迹 [18:07] 正向和反向 [18:08] 我们选择的k越来越大 [18:10] 不断地根据质心读出参数 [18:12] 就能得到一系列圆盘 [18:14] 把这些圆盘全部叠放组合在一起 [18:17] 整个逆向过程就完成了 [18:19] 我们终于可以用一堆圆 [18:20] 上加圆来画出各种形状 [18:25] 知道了整套做法 [18:27] 你心里可能还是有一些疑惑 [18:29] 我们该如何直观的 [18:30] 理解这套方法的原理呢 [18:32] 如果不是三四个圆盘 [18:34] 精心设计出来的形状 [18:36] 而是非常随意的一条轨迹 [18:38] 这个方法还能保证画的出来吗 [18:41] 我们回到前面三尖瓣线的例子 [18:43] 这个例子里我们用了两根向量 [18:45] 1号和负2号 [18:46] 我们现在来仔细体会一下 [18:48] 用不同的圈数k去反向缠绕时 [18:51] 整根曲线的形态会怎么变化 [18:54] 先看k等于一 [18:55] 那这样缠绕之后 [18:57] 1号向量被停住变成了一个常量 [18:59] 而负2号向量相对它 [19:01] 每个周期转了3圈 [19:03] 于是整个曲线收为一个 [19:05] 半径为一的小圆被走了3遍 [19:07] 圆心明显偏离原点 [19:09] 而质心偏离原点的距离是2 [19:12] 这正告诉我们 [19:14] 我们需要一个半径为2的1号圆盘 [19:17] 有意思的事情发生 [19:18] 在缠绕两圈的时候 [19:20] 我们知道一开始的积木 [19:22] 里并没有用到2号圆盘 [19:24] 这意味着反向缠绕两圈之后 [19:26] 它读出的半径应该是0 [19:28] 我们真的去转一下 [19:30] 你会发现图像变成了一个 [19:31] 具有完美的旋转对称性的图形 [19:34] 那它的质心确实就在原点 [19:37] 那质心距离原点的距离 [19:39] 确实就是2号盘的半径 [19:41] 等于0 我们不需要2号盘 [19:43] 那再看反方向 [19:45] 当我们正向的缠绕两圈时 [19:47] 那么被停住的就是负2号向量 [19:50] 此时剩下的1号向量会 [19:52] 相对于它每周期旋转3圈 [19:54] 于是我们能看到曲线 [19:55] 变成一个半径为2的圆 [19:58] 圆心偏离原点的距离是1 [20:00] 这告诉我们负2号盘的半径就是一 [20:04] 所以说正是三尖内摆线这个 [20:07] 图形本身的几何性质 [20:09] 巧妙的使得只有顺时针缠绕一圈 [20:12] 和逆时针缠绕两圈这两种情况 [20:15] 图形才会变成质心偏离原点的圆 [20:19] 其余的任何缠绕整数圈数都会 [20:22] 得到一个三重旋转对称的图形 [20:25] 质心恰好落在原点 [20:27] 意味着我们不需要 [20:28] 其他任何旋转向量 [20:30] 是不是很神奇呢 [20:32] 而对于一个一般的图像轨迹 [20:34] 它的确不是有限个 [20:35] 旋转向量叠加的结果 [20:37] 但我们总是可以当成是有限个 [20:39] 缠绕加找质心的那个 [20:41] 操作总是可以做的 [20:43] 我们设定一个k的上限 [20:44] 比如说10 [20:45] 然后把一个周期内旋转不超过10圈 [20:48] 的所有向量都算一遍长度和幅角 [20:52] 那么尽管我们搭建起来的这 [20:54] 20根向量的机器并不完美 [20:56] 却依然可以在相当程度 [20:58] 上还原一开始的轨迹 [21:01] 如果你已经理解了到 [21:03] 目前为止的所有思路 [21:04] 那么恭喜你 [21:05] 你已经基本理解了傅里叶变换 [21:08] 准确来说是傅里叶级数的精髓 [21:10] 正如在三维空间里 [21:12] 我们可以把几个基底 [21:13] 向量乘以不同的倍数 [21:15] 再加到一起 [21:16] 得到空间中的任何一个点 [21:18] 虽然绝大多数函数都不是多项式 [21:21] 但我们还是可以用 1、x、x² [21:23] 这些单项式作为基底 [21:25] 在一点附近用 [21:26] 多项式去逼近一个函数 [21:28] 这就是泰勒展开 [21:30] 要是把基底从向量换成不同的圆盘 [21:33] 我们也能从各种圆盘旋转的组合 [21:36] 得到我们想要的任何画笔运动 [21:40] 这就是上一期视频里提到的 [21:42] 广义基底与线性组合的思想 [21:44] 某种意义上 [21:46] 泛函分析和傅里叶分析 [21:48] 就是一个大号的线性代数 [21:50] 只不过基底有无穷多个 [21:52] 而且就是这些神奇的转动过程 [21:55] 那接下来 [21:56] 我们将会用一些时间讲讲 [21:58] 在严格的现代数学体系里 [21:59] 怎么表示傅里叶变换 [22:01] 首先我们需要把平面上的 [22:03] 点都翻译成一个数 [22:04] 也就是大家所熟知的复数 [22:07] 点 (a,b) 对应于复数 a+bi [22:09] 其中 i 的平方等于 −1 [22:10] 这样写的好处就是它能 [22:12] 很轻松的表示向量运算 [22:14] 两个复数相加 [22:14] 那就是横坐标加横坐标 [22:16] 纵坐标加纵坐标 [22:17] 恰好就是箭头首尾拼接的结果 [22:20] 更巧妙的性质是乘法 [22:21] 两个复数相乘 [22:23] 几何效果是长度相乘 [22:25] 而角度相加 [22:26] 所以乘以 i，i 的长度是一 [22:28] 角度是90度 [22:30] 那么任何一个向量箭头乘以i [22:32] 就表示向量长度不变 [22:34] 但原地逆时针再转90度 [22:36] 所以 i 乘 i 就相当于连续拐两个 90 度 [22:40] 正好掉头180度 [22:42] 变成它的相反数-1 [22:44] 正所谓平方得负岂荒谬 [22:46] 左转两次便回头 [22:49] 至于乘法为什么恰好是转角度 [22:51] 背后有一些精妙的原理 [22:53] 感兴趣的可以看我之前的视频 [22:55] 那么接下来就是主角 [22:57] 我们前面说了好久的 [22:58] 匀速旋转的箭头啊 [23:00] 本质上就是一个输入时间t [23:03] 输出一个位置的复数的函数 [23:05] 而这个函数很简单 [23:07] 就是 e^(2πikt) [23:10] 为什么是这个函数呢 [23:12] 我们先来看看 e^(it) [23:14] 这个函数的导数等于它自己乘以i [23:17] 而复数乘以 i 就等于逆时针旋转 90 度 [23:21] 所以这个运动满足这样一个特性 [23:23] 它的导数也就是速度 [23:25] 时时刻刻垂直于自己的位置向量 [23:27] 并且在t等于0的时候 [23:29] 位于实轴上一这个位置 [23:31] 这是什么运动 [23:33] 没错 [23:34] 只能是匀速圆周运动才会使得运动 [23:36] 速度时时刻刻垂直于和原点的连线 [23:39] 将两边取模长 [23:40] 你还会发现这个速率恒 [23:43] 等于它到原点的距离 [23:44] 也就是圆的半径一 [23:46] 因此这个运动的速度大小一直是一 [23:49] 所以经过时间t [23:50] 就走过了一个弧长t [23:53] 转过的夹角也是t [23:55] 此时我们还可以做出直角 [23:56] 三角形来分解横纵坐标 [23:58] 分别是 cos t 和 sin t [24:00] 于是你就得到了 [24:01] 大名鼎鼎的欧拉公式 [24:03] e^(it) 等于 cos t 加上 i 乘以 sin t [24:07] 它值得单独出一期视频 [24:08] 我们以前已经讲过 [24:09] 这里就不再展开 [24:11] 那么还剩最后一件事 [24:13] 如何表示不同的旋转速度呢 [24:15] 只需要在指数上再乘一个倍数 [24:18] 比如说 2πk [24:19] 那么当t从0到1时 [24:22] 夹角就会从 0 转到 2kπ [24:24] 也就是刚好转了k圈 [24:26] 这就是用一个简单的函数 [24:28] 表示k号这个转圈向量的方法 [24:31] 于是刚才的圆盘上叠圆盘 [24:34] 本质上就是把任何 [24:35] 一个周期运动的过程 f(t) [24:37] 表示成这样一个求和的形式 [24:40] 它把一个函数分解成 [24:42] 一系列旋转运动的求和 [24:44] 是另一种意义上的泰勒展开 [24:48] 而如果我们想要从 f(t) [24:49] 反过来求出这一系列系数 [24:52] 正是我们前面所说过的反向缠绕 [24:54] 再找质心 [24:56] 所谓的反向缠绕k圈 [24:57] 我们说过 [24:58] 就是给每个时刻的 [24:59] 这个点的幅角减去 2kπt [25:03] 那么在每个时刻的点 [25:05] 我们乘上一个复数 e^(−2πikt) [25:09] 那么乘这个函数就 [25:10] 等价于调整它的旋转角 [25:12] 拍无穷多张照片 [25:14] 再把它求平均 [25:15] 在数学里现成的写法 [25:17] 就是在一个周期上积分 [25:19] 再除以周期 [25:20] 所以第k号圆盘的系数就 [25:23] 可以写成这样一个式子 [25:25] 它里面就表达出了 [25:27] 先把 f(t) 的这个位置取出来 [25:29] 然后再把它的夹角逆向转回去 [25:32] 对所有的时间取平均 [25:34] 啊这就可以得到它的质心 [25:36] 而这个质心也正是k [25:38] 号圆盘的初始向量 [25:40] 在我们把周期取成一的情况下 [25:42] 所有的 T 就可以丢掉 [25:44] 这就是我们刚才的结果了 [25:47] 这个公式连同它背后的 [25:48] 整套想法就叫做傅里叶级数 [25:51] 这些 c_k 就叫傅里叶系数 [25:54] 1807年 [25:55] 法国数学家傅里叶在研究热传导时 [25:57] 大胆的主张 [25:59] 任何周期函数都可以分解 [26:01] 成这样一族族旋转的叠加 [26:03] 当时的评审教授们将信将疑 [26:06] 而今天它是整个信号世界的地基 [26:09] 你的手机此时此刻就在运行着它 [26:12] 因为你想 [26:13] 空间中所有的基站 [26:14] 所有的Wifi [26:15] 所有广播的电波 [26:17] 都会叠成一锅粥的信号 [26:19] 涌进天线 [26:20] 而你的芯片所做的第一件事情 [26:22] 就是把这个信号乘上一个 [26:24] 你自己关注的 e^(−iωt) [26:28] 做一个反向的缠绕 [26:29] 再取平均数 [26:31] 取出质心 [26:31] 把整圈的杂项通通滤掉 [26:34] 只让你自己所关注订阅 [26:36] 的那一个频道静止显形 [26:39] 收音机上的调节旋钮以及 [26:42] 我们常说的频道都是由此而来 [26:45] 它的本质就是缠绕找质心 [26:48] 在你的手机里 [26:49] 每秒钟都会运行几十亿次 [26:52] 那最后我们再说一句更一般的情形 [26:54] 当信号不再是周期性的时候 [26:57] 缠绕的圈数就不必是整数了 [26:59] 我们可以在整条 [27:00] 时间轴上做缠绕并求和 [27:03] 得到的不再是一堆离散的圆盘 [27:05] 而是一条连续的谱 spectrum [27:09] 原来的运动函数 f(t) [27:10] 所在的空间叫做时域 [27:12] 而变换之后的这条 [27:13] 强度函数叫做频谱 [27:16] 它处于频域之中 [27:18] 频谱上的每一个值都衡量 [27:20] 了原本的运动里包含了多 [27:22] 强的某个频率的旋转分量 [27:24] 这就构成了傅里叶变换与逆变换 [27:30] 最后我们用公式的语言 [27:32] 把反向旋转亲手算一遍 [27:34] f(t) 是一串旋转的叠加 [27:36] 每一项是 c_n [27:37] 乘上 e^(2πint) [27:40] 现在给它整个乘上 [27:42] e^(−2πikt) [27:45] 乘法会让角度相加 [27:46] 所以每一项的指数 [27:48] 都被减掉了 2πikt [27:50] 这就是反向缠绕的效果 [27:52] 只有我们所关注的 k 号圆盘 [27:55] 指数被减成了 0 [27:57] e 的 0 次方等于 1 [27:58] 这一项就变成了 [27:59] 一个一动不动的常数 c_k [28:02] 而所有其他的项仍然在转 [28:05] 而且在一个周期里 [28:06] 转的都是整数圈 [28:08] 如果在一个周期里取平均 [28:10] 常数 c_k 平均完还是 c_k [28:13] 而其他向量都转了整数圈 [28:16] 均匀地扫过整个圆 [28:18] 平均下来恰好是 0 [28:20] 所以最后就只剩下 c_k [28:24] 缠绕找质心 [28:25] 说的就是这样一个计算过程 [28:27] 而它也正是傅里叶变换 [28:32] 整个视频的最后 [28:33] 我们来看看傅里叶变换在 [28:35] 数学里的一个神奇用处 [28:37] 有一个经典的级数求和 [28:39] 问题叫做巴塞尔问题 [28:40] 所有正整数的倒数平方和 [28:42] 1 加 1/4 加 1/9 加 1/16 [28:45] 一直加下去 [28:46] 等于多少呢 [28:48] 欧拉用了一个神奇的办法 [28:49] 凑出了答案是 π²/6 [28:52] 而利用我们刚刚所学的傅里叶级数 [28:54] 可以把它严格地推导出来 [28:56] 我们回到圆上摞圆的机器 [28:58] 问一个新的问题 [29:00] 在整个运动的过程中 [29:01] 笔尖平均离中心有多远呢 [29:04] 准确来说 [29:05] 我们关心的是笔尖到中心距离的平方 [29:08] 在一个周期里的平均值 [29:10] 平方在物理上正好对应于能量 [29:13] 声音的功率电流做的功 [29:15] 都正比于振幅的平方 [29:17] 所以工程师把这个数字 [29:19] 叫做信号的平均功率 [29:21] 对于圆盘机器来说 [29:23] 这个平均功率有一个 [29:24] 简洁的出人意料的数值 [29:26] 就是等于所有圆盘半径的平方和 [29:30] 原因是这样的 [29:31] 任何时刻笔尖到原点的 [29:33] 向量都是所有旋转向量的和 [29:36] 把它的长度平方展开会得到两部分 [29:39] 分别是每根向量各自长度的平方 [29:42] 再加上每两根向量内积的两倍 [29:45] 前一部分加起来正是 [29:47] 所有圆盘半径的平方和 [29:48] 而且它不随时间改变 [29:51] 后一部分里 [29:52] 任意两根转速不同的向量 [29:54] 它们的相对运动就会是一个匀速旋转 [29:56] 而且在一个周期里恰好转了整数圈 [30:00] 所以它们的点乘正负对称 [30:02] 平均下来是零 [30:04] 顺带一提 [30:05] 这也就是教科书里所说 [30:06] 的三角函数的正交性 [30:08] 频率不同的两个正弦或者余弦相乘 [30:11] 在一个周期上的积分一定是 0 [30:14] 于是我们就证明了笔尖到原点 [30:17] 距离平方的平均值恰好等于 [30:19] 所有旋转向量长度的平方和 [30:21] 这个结论叫做帕塞瓦尔定理 [30:24] 教科书上把它写成函数的能量 [30:26] 等于全体傅里叶系数的能量 [30:28] 听起来很抽象 [30:29] 但放到这台旋转的机器上就很直观了 [30:32] 定理在手 [30:33] 现在我们可以开始神奇的证明 [30:35] 还记得开场沙盒里那根 [30:37] 来回滑动的直线段吗 [30:39] 我们换一个 [30:40] 让笔尖在一根长度为 π 的横杆上跳动 [30:44] 前半个周期 [30:45] 它一直停在右端点 π/2 [30:47] 到了半周期的时候 [30:49] 瞬间跳到左端点 −π/2 [30:51] 一直停到周期结束 [30:52] 再跳回来 [30:53] 把它的横坐标画成关于时间的函数 [30:56] 就是这个样子 [30:57] 工程上叫做方波 [31:00] 我们对这个运动做傅里叶变换 [31:02] 同样去反向缠绕 [31:04] 那笔尖离原点的距离一直是 π/2 [31:07] 所以缠绕之后的轨迹永远落在 [31:09] 一个半径为 π/2 的圆上 [31:11] 我们只需要关心它在 [31:12] 这个圆上转了多少 [31:14] 可问题是缠绕的圈数一多啊 [31:16] 这些圈就全部叠在同一个圆上 [31:18] 平面上根本看不清 [31:20] 所以我们还是像前面 [31:21] 那样把时间竖起来 [31:23] 把它拉成一根弹簧 [31:25] 缠绕 n 圈 [31:26] 这根弹簧就一共绕了 n 圈 [31:28] 而每一个完整的圆 [31:29] 它的质心都在这个中轴或者原点上 [31:32] 可以直接拿掉 [31:34] 先看 n 是偶数的情况 [31:36] 那么前半个周期就恰好是整数圈 [31:38] 后半个周期也是 [31:40] 全部拿掉之后什么都不剩 [31:42] 质心就在原点 [31:43] 所以偶数号盘的圆盘半径都是 0 [31:47] 那再看看 n 是奇数的情况 [31:49] 前后两半各自会多出来一个半圈 [31:52] 关键在于后半个周期的 [31:53] 笔尖瞬间跳到了对面 [31:55] 正好把这个半圈转回到了另一边 [31:58] 两段多出来的弧叠在了同一个半圆上 [32:02] 半圆弧的质心到圆心 [32:03] 的距离是 2r/π [32:05] 这里的 r 等于 π/2 [32:06] 所以恰好是一 [32:08] 不过这个半圆只占用 [32:10] 了 1/n 的时间 [32:11] 剩余的时间质心都在原点 [32:13] 所以平均下来质心离 [32:15] 原点正好是 1/n [32:17] 哎我们就得到了一个优雅的结果 [32:20] n 号圆盘的半径恰好是 1/n [32:23] n 是负数的时候就是 1/|n| [32:26] 所以要画出这种左右横跳的方波 [32:29] 傅里叶变换给出的 [32:30] 答案是无穷多个圆盘 [32:32] 而且都是奇数号圆盘 [32:34] 半径分别是 1 [32:35] 1/3、1/5…… [32:37] 每个半径都出现两次 [32:38] 一正一负 [32:40] 好现在就让我们用上帕塞瓦尔定理 [32:43] 从距离平方的平均来看 [32:45] 笔尖离原点一直是 π/2 [32:48] 所以平均功率就是 π²/4 [32:51] 另一方面 [32:51] 它等于所有圆盘半径的平方和 [32:54] 也就是 2 乘 1 的平方加上 2 乘以 [32:57] 1/3 的平方加上 2 乘以 1/5 的平方 [33:00] 这样一直加下去 [33:02] 等式两边同时除以 2 [33:04] 我们就得到所有正奇数倒数的 [33:07] 平方和等于 π²/8 [33:09] 那距离最终的巴塞尔 [33:11] 问题就只差一步了 [33:12] 全体正整数的倒数平方和等于 [33:15] 奇数的部分加上偶数的部分 [33:17] 偶数的部分可以提出一个 1/2² [33:20] 恰好是全体的 1/4 [33:21] 所以奇数部分的和就是全体的 3/4 [33:25] 于是全体正整数的倒数平方和就 [33:28] 等于奇数部分的 π²/8 乘以 4/3 [33:31] 也就是 π²/6 [33:33] 证明完毕 [33:36] 我们从一个圆上 [33:37] 摞圆的沙盒游戏出发 [33:39] 完整构建出了针对任何轨迹 [33:41] 设计圆盘半径与角度的方法 [33:44] 而这正是傅里叶变换最深邃的内涵 [33:47] 这个世界的信号永远是一锅粥 [33:50] 电波、声浪、众声喧哗 [33:53] 每个人都说你该怎么做 [33:55] 各种各样的圆上圆叠在一起 [33:57] 形成了纷繁复杂的图案 [34:00] 傅里叶告诉我们 [34:01] 想要在其中看清某一个成分 [34:03] 有一个很简单的方法 [34:05] 那就是让自己坚定地跟着你 [34:07] 关注的那个圆盘一起旋转 [34:09] 与你同频的会在漫天 [34:11] 的旋转中静止显形 [34:14] 与你不同频的 [34:15] 转着转着就会把自己平均成为0 [34:18] 在这个过程当中 [34:19] 看到它的中心 [34:21] 你就会找到自己所 [34:23] 关注的那个圆盘的位置 [34:25] 这大概也是共鸣 [34:26] 这个词最好的数学的注解 [34:28] 你先跟上自己专注的节奏 [34:30] 噪声会逐渐退成背景 [34:32] 让那个目标在你的眼前站定 [34:35] 那如果这期视频让你理解了 [34:37] 曾经痛苦难懂的傅里叶变换 [34:39] 还希望你能点赞投币支持一下up主 [34:41] 并推荐给更多的人 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