بافوني يحل معضلة تموضع الروبوتات بنقل مرشح بايز إلى خوارزميات كالمان

帕沃内将贝叶斯滤波转化为卡尔曼算法以解决机器人定位难题 帕沃内教授强调，用高斯分布表示置信度并将其简化为均值和协方差，可将计算上不可行的贝叶斯积分转化为矩阵运算，从而实现对机器人位置的实时跟踪。 本次讲座首先回顾了通用贝叶斯滤波中预测与校正步骤背后的几何直觉，以应对机器人定位问题，并指出了迫使分布局限于高斯参数形式的计算障碍。随后，帕沃内展示了标准卡尔曼滤波的数学推导，证明其在状态转移和测量呈线性的假设下是一种闭式最优解析解。针对现实机器人系统的非线性问题，演讲者解释了基于泰勒展开和雅可比矩阵线性化函数的扩展卡尔曼滤波（EKF）工作机制，并讨论了其失效原因及实验调校噪声矩阵所面临的挑战。讲座最后简要对比了无迹卡尔曼滤波（UKF），该方法依赖西格玛点，无需对原始函数进行近似失真。 卡尔曼滤波为具有高斯噪声的线性系统估计问题提供了精确的闭式解，仅通过更新均值和协方差矩阵即可浓缩完整的概率密度函数。 (37:45) 扩展卡尔曼滤波（EKF）依赖于通过一阶泰勒级数展开及计算均值附近的雅可比矩阵，对非线性函数进行局部线性近似。 (61:21) 当不确定性方差增大或非线性加剧时，扩展卡尔曼滤波（EKF）在实际应用中容易失效，而无迹卡尔曼滤波（UKF）通过直接将概率西格玛点传入非线性模型，成为了更精确的替代方案。 (75:29) 过程噪声矩阵（R）与测量噪声矩阵（Q）参数的实验估计，是在实际机器人系统上部署状态滤波器的最大工程挑战之一。 (72:47)

يقدم البروفيسور ماركو بافوني في هذا المساق إطار التصفية المعلمية لحل معضلة التموضع الروبوتي، موضحاً كيف يتيح افتراض التوزيعات الغاوسية تحويل مرشح بايز العام غير القابل للحساب برمجياً إلى خوارزميات مصفوفية فعالة كمرشحي كالمان وكالمان الممتد. معضلة الحسابية والانتقال إلى القوالب المعلمية (9:03) يشرح بافوني أن تطبيق مرشح بايز العام بشكله التحليلي يواجه استحالة عملية في الروبوتات الحقيقية؛ إذ تتطلب خطوة التنبؤ حل تكاملات متعددة الأبعاد عبر فضاء حالة مستمر يضم الموضع والتوجيه والسرعات. للتغلب على هذه العقبة، تبرز التصفية المعلمية (Parametric Filtering) بفرض بنية رياضية محددة تختزل دالة الكثافة الاحتمالية للاعتقاد في معلمتين إحصائيتين فقط: المتوسط الحسابي (μ) ومصفوفة التباين المشترك (Σ)، مما يلغي الحاجة لتتبع دالة الاحتمال بأكملها عبر الزمن. تبعات التقريب الغاوسي والمفاضلات الهندسية (16:48) يوضح المحاضر أن اعتماد التوزيع الطبيعي يفرض قيداً جوهرياً يتمثل في كونه أحادي المنوال (unimodal)، مما يجبر النظام على تتبع فرضية تموضع وحيدة. ورغم أن هذا يمثل تقريباً ضعيفاً في سيناريوهات بدء التشغيل الغامضة ذات القمم المتعددة (multimodal) كالتواجد في غرف متشابهة، فإنه يوفر تنفيذاً فائق السرعة والكفاءة بمجرد توفر تخمين أولي جيد، مع التنبيه إلى ضرورة وعي المهندس بحدود هذا النموذج الرياضي عند تحليل سلوك الخوارزمية. مرشح كالمان الخطي وموازنة كسب التحديث (37:45) يبرهن بافوني أنه عند تحقق ثلاثة افتراضات—خطية ديناميكا انتقال الحالة بوجود ضوضاء عملية غاوسية Rt، وخطية نموذج القياس بوجود ضوضاء استشعار غاوسية Qt، وغوسية الحالة الابتدائية—يتحول مرشح بايز إلى مرشح كالمان (Kalman Filter)، وهو المقدر الأمثل خطياً لتقليل متوسط مربع الخطأ (MMSE). وتلعب مصفوفة كسب كالمان (Kt) دور الموازن الحسابي بين الثقة في التنبؤ الميكانيكي والاعتماد على قراءات الحساسات؛ فإذا كانت ضوضاء المستشعر ضخمة جداً (Qt تؤول للمالانهاية) أو كان عدم اليقين بالتنبؤ معدوماً، يتجه المكسب نحو الصفر ليفضل النظام نموذجه الداخلي على البيانات المشوشة. التخطي عبر تايلور وقيود مرشح كالمان الممتد (58:46) نظراً لأن النماذج الحركية الواقعية في الروبوتات غير خطية وتحتوي على دوال مثلثية تشوه الطبيعة الغاوسية للتوزيعات، يُلجأ إلى مرشح كالمان الممتد (EKF) عبر تقريب الدوال غير الخطية خطياً باستخدام مفكوك متسلسلة تايلور من الرتبة الأولى حول المتوسط السابق، واستبدال المصفوفات الثابتة بمصفوفات جاكوبي (Jacobians) للمشتقات الجزئية Gt وHt. ومع ذلك، يؤكد بافوني أن EKF يظل مجرد تقريب بلا ضمانات تقارب مطلقة، ويفشل حتماً عند اشتداد اللاخطية أو اتساع التباين، فضلاً عن صعوبة الضبط العملي لمصفوفتي الضجيج Rt وQt. مرشح كالمان غير المعطر كبديل للتحويلات غير الخطية (75:29) يختتم بافوني بمقارنة فلسفية بين EKF ومرشح كالمان غير المعطر (UKF)؛ فبينما يعتمد الأول على خطية معادلات النظام وتمرير التوزيع الغاوسي عبر الخط المستقيم المقرب، يعكس UKF المنهجية بالإبقاء على المعادلات غير الخطية الدقيقة كما هي، وتقريب التوزيع الاحتمالي للمدخلات بمجموعة عينات حتمية تُعرف بـ "نقاط سيجما" (Sigma points). يُعاد بعد ذلك تركيب توزيع غاوسي للمخرجات بالانحدار الإحصائي، مما يمنح UKF تفوقاً ملحوظاً في البيئات ذات اللاخطية العالية وعدم اليقين المرتفع رغم زيادة تعقيده البرمجي. تظل المرشحات المعلمية أداة سريعة وفعالة للتموضع عند توفر تقدير أولي موثوق، غير أن حساسيتها للاخطية المفرطة وعجزها عن تتبع الفرضيات المتعددة في الحلقات المغلقة يمهدان للانتقال نحو المرشحات غير المعلمية كمرشح الجسيمات.

斯坦福大学的Marco Pavone教授指出，通用的贝叶斯滤波在连续状态空间中因多维积分而难以直接计算，机器人定位必须依赖高斯分布等参数化假设，以卡尔曼滤波及其非线性衍生算法实现高效的状态估计。 贝叶斯滤波的计算困境与参数化简化 (0:05) 贝叶斯滤波由基于运动控制量 $u_t$ 的预测步和基于传感器测量值 $z_t$ 的校正步构成。预测步通过全概率公式融合历史状态与状态转移概率，校正步则依据测量似然 $p(z_t \mid x_t)$ 动态调整不同状态的置信权重。此外，算法还可以通过主动估计（Active Estimation）规划特定轨迹以主动采集数据并缩减不确定性。然而，在机器人的连续高维状态空间（包含位置、朝向与速度）中，预测步需要对全域求解连续积分，计算机无法直接遍历实现。 为克服计算不可行性，状态估计通常分为参数化滤波与非参数化滤波两条路径。非参数化滤波通过蒙特卡洛采样或粒子集合来逼近任意分布；而参数化滤波则强行假定先验信念具有固定数学结构，其中最核心的做法是高斯分布假设。该假设将复杂的连续概率密度函数完全压缩为均值向量 $\mu$ 与协方差矩阵 $\Sigma$，从而将微积分运算简化为低复杂度的矩阵代数推导。 高斯假设的代数优势与单峰局限 (13:42) 采用高斯信念分布具备多项重要的代数封闭特性：独立高斯变量经线性变换 $Y = AX + B$ 后仍严格服从高斯分布，其期望为 $A\mu + B$，协方差为 $A\Sigma A^T$；两个独立高斯变量之和的均值与协方差为各自参数的直接累加；两个高斯概率密度函数的乘积在配方后同样保持高斯形态。这些代数性质使得信念分布在经过连续的时间步递推后，形式能够始终保持封闭。 但高斯假设在物理世界上存在严格的单峰性（unimodal）约束，这意味着系统只能追踪单一假设。在机器人重定位或对称环境中（例如在特征相似的房间中），真实的后验信念往往呈现多峰分布（multimodal）。若强行应用高斯分布进行逼近，模型会将概率质量错误地聚集在两个峰值之间的低概率区域，进而导致估计彻底失效。此外，高斯分布具备无限延伸的理论尾部，虽然赋予了极远区域微小的非零概率，但在工程实际中这种远端数值通常可以忽略。 标准卡尔曼滤波的递推与增益权衡 (28:05) 在线性时变系统 $x_t = A_t x_{t-1} + B_t u_t + \varepsilon_t$ 与线性测量模型 $z_t = C_t x_t + \delta_t$ 下，若过程噪声与测量噪声均满足均值为零的独立高斯分布（协方差分别为 $R_t$ 与 $Q_t$），且初始状态 $x_0$ 呈高斯分布，则信念分布在所有时刻严格保持高斯形态。卡尔曼滤波在此条件下被证明是能够最小化均方误差（MMSE）的最优线性估计器，其预测步通过系统动力学矩阵递推状态先验均值 $\bar{\mu}_t$ 与先验协方差 $\bar{\Sigma}_t$。 校正步的核心在于通过测量矩阵 $C_t$ 计算卡尔曼增益 $K_t$，以平衡运动模型与传感器数据之间的信任度。当测量噪声非常大（$Q_t \to \infty$）或先验预测高度确信（$\bar{\Sigma}_t \to 0$）时，$K_t$ 趋近于零，系统完全偏向动力学模型预测；反之，当传感器精度极高时，增益权重上升，后验均值向实际测量 $z_t$ 发生显著修正。这一推导既可以通过贝叶斯更新结合配方法证明，也可以直接利用独立高斯随机变量的线性运算法则得出。 非线性挑战与EKF的一阶泰勒展开 (58:46) 大多数机器人运动模型包含三角函数等非线性项（如车辆的阿克曼模型或差速轮模型），测量模型同样普遍存在非线性几何投影。若将高斯分布直接通过非线性变换传递，输出将发生畸变并丧失高斯形态，导致标准卡尔曼滤波在数学上无法直接使用。扩展卡尔曼滤波（EKF）针对这一问题，利用一阶泰勒展开在当前工作点进行局部线性化，将非线性转移函数 $g$ 和测量函数 $h$ 转化为雅可比矩阵 $G_t$ 与 $H_t$。 展开点必须选取在概率质量最为集中的先验均值处（分别为 $\mu_{t-1}$ 与 $\bar{\mu}_t$）。在雅可比矩阵替换对应的线性动力学矩阵后，EKF 的运算结构与标准卡尔曼滤波完全一致。但 Pavone 强调，EKF 仅仅是一种局部近似算法，不再具备全局最优性或必然收敛的理论保证，其估计精度高度依赖于系统在该工作点局部的线性化质量。 工程失效归因与无迹卡尔曼滤波对比 (70:04) 在实际工程部署中，EKF 失效通常源于四个因素：代码实现缺陷、系统极度非线性使得一阶近似崩溃、初始或过程不确定性过大导致概率质量溢出局部线性区域，以及过程噪声 $R_t$ 与测量噪声 $Q_t$ 的整定困难。在闭环控制中，由于外部环境存在突发变数（如行人随机走动），很难提供先验数学保证，工程上常需引入监控机制以识别发散状态。 针对 EKF 在强非线性与大方差下的局限，无迹卡尔曼滤波（UKF）提供了另一种思路。EKF 选择“线性化非线性函数并传递高斯分布”，而 UKF 则选择“保留非线性函数本身”，通过在输入端根据协方差对称选取确定性的“Sigma 点”，将这些粒子逐个代入真实非线性方程中计算，最后通过统计回归重新拟合高斯分布。UKF 在大不确定性场景下的均值与协方差逼近表现明显优于 EKF，但其计算实现也更为繁琐复杂。 参数化滤波通过高斯假设实现了高效的实时状态估计，但单峰限制与线性化截断误差限制了其在极端非线性和对称环境中的表现。针对多峰分布与高度复杂环境，课程后续将探讨直方图滤波与粒子滤波等非参数化方案以弥补此类缺陷。

[16:48] ماركو بافوني: من المهم جداً أن تكون على دراية بعواقب التقريب الذي تقوم به. وإلا، ستطبق خوارزمية، وتحصل على نتائج غير منطقية، ولن تعرف ما إذا كان ذلك خطأً في الكود الخاص بك أو شيئاً أكثر جوهرية في الرياضيات. [72:47] ماركو بافوني: الروبوتات تسبب الكثير من الإحباط. إذا لم تكن مستعدًا للإحباط، ففكر في شيء آخر. [75:29] ماركو بافوني: ما تفعله في EKF هو خطية التحويل، ثم تمرير التوزيع الغاوسي من خلاله. ما تفعله في UKF هو في الواقع تقريب التوزيع الغاوسي الذي لديك كمدخل من خلال جسيمات، ثم تمرير تلك الجسيمات عبر التحويل غير الخطي. [65:00] ماركو بافوني: معادلات مرشح كالمان الممتد هي نفس معادلات مرشح كالمان، حيث استبدلت نموذج الانتقال غير الخطي ونموذج القياس غير الخطي بنسخ خطية. بمجرد القيام بذلك، تصبح كل الرياضيات الأخرى متطابقة تماماً.

[0:05] حسناً. إذن، يمكننا [0:07] البدء و..للتذكير، نحن [0:11] نعمل الآن على مهمة [0:12] التموضع (localization). [0:14] ناقشنا في المرة [0:16] السابقة الطريقة التي [0:17] نتعامل بها مع مهمة [0:19] التموضع، وهي مهمة [0:21] تحديد وضعيتنا [0:22] بالنسبة لخريطة نفترض [0:24] حالياً أنها معطاة لنا [0:26] . في الأسبوع القادم، [0:27] سننظر في الحالة التي [0:29] لا تكون فيها الخريطة [0:30] معطاة، حيث يجب [0:32] تقديرها بالتزامن مع [0:33] تقدير وضعيتنا. لذا، [0:35] قلنا إن هذه العملية [0:37] تندرج ضمن إطار [0:38] احتمالي. وبشكل خاص في [0:40] هذا الفصل، ننظر إلى [0:42] النهج المعروف باسم [0:44] التصفية البايزية ( [0:46] Bayesian filtering). حيث نقوم [0:48] بشكل متكرر بتقدير [0:50] تموضعنا عبر دمج [0:51] المعلومات المتعلقة [0:53] بالإجراءات التي [0:55] نتخذها والقياسات [0:56] التي نتلقاها من [0:58] مستشعراتنا أثناء [0:59] تحركنا. على وجه [1:01] الخصوص، ناقشنا في [1:03] المرة السابقة مرشح [1:04] بايز (Bayes filter) بصيغته [1:06] العامة الكاملة. وقلنا [1:09] إن مرشح بايز يتكون من [1:11] خطوتين رئيسيتين. [1:13] تحديداً، بالنظر إلى [1:15] الاعتقاد حول حالتنا، [1:17] أي التوزيع الاحتمالي [1:19] لما يمكن أن تكون عليه [1:21] وضعيتنا، وبالنظر إلى [1:23] أحدث تحكم ut وأحدث [1:25] قياس zt، كيف نحسب [1:26] الاعتقاد اللاحق، أي [1:28] الاعتقاد فيما يخص [1:30] الحالة عند الزمن t، [1:32] بعد أن دمجنا ut و zt [1:34] كمعلومات؟ قلنا إن [1:36] مرشح بايز يجزئ هذا [1:38] الحساب إلى خطوتين. [1:41] أولاً، نحسب اعتقاد [1:43] التنبؤ، حيث نأخذ في [1:45] الاعتبار أحدث تحكم UT، [1:47] ولكننا لا نأخذ في [1:49] الاعتبار بعد أحدث [1:51] قياس. وفي الخطوة [1:53] الثانية، خطوة [1:54] التصحيح، نأخذ في [1:56] الاعتبار أحدث [1:57] القياسات. لقد اشتققنا [1:59] كلتا العبارتين بدقة [2:01] في المرة السابقة، [2:03] لكنني أريد أن أقدم [2:04] لكم الحدس مرة أخرى [2:06] للتأكد من أن ما ترونه [2:08] هنا واضح قدر الإمكان. [2:10] تحديداً، لأن كل ما [2:11] سنقوم به لاحقاً [2:13] يستلزم تطوير مرشح [2:15] بايز. لذا، إذا لم تكن [2:16] الأسس واضحة، فسيكون [2:18] كل شيء آخر غير واضح [2:20] أيضاً. لذا، تذكروا [2:22] بشكل خاص أن فكرة حساب [2:24] اعتقاد التنبؤ هي فكرة [2:27] مباشرة إلى حد ما. هناك [2:30] تكامل يبدو معقداً [2:31] للغاية، لكن ما يقوله [2:33] هو أننا نريد فهم ما هو [2:35] احتمال أن نكون عند [2:37] الحالة x عند الزمن t. [2:39] للقيام بذلك، ما نفعله [2:41] هو القول: "حسناً، من [2:42] أي الحالات عند الزمن t [2:44] ناقص واحد يمكنني [2:46] الوصول إلى الحالة x [2:48] عند الزمن t؟" ثم، أقوم [2:50] بتعيين احتمالية لكل [2:52] حالة عند الزمن x t ناقص [2:53] واحد بالنسبة [2:54] للاعتقاد الذي أفترض [2:56] أنني أمتلكه. ثم نقوم [2:58] بوزن تلك الاحتمالات [2:59] باحتمالية أنني من كل [3:01] حالة ممكنة x t ناقص [3:02] واحد يمكنني الانتقال [3:04] إلى الحالة x of t [3:05] باستخدام التحكم u t. [3:06] والآن، أجمع كل تلك [3:08] الاحتمالات معاً من [3:09] خلال حساب مجموعها [3:11] لأنها أحداث متنافية. [3:13] هل هذا منطقي؟ إذن، [3:15] أنظر إلى كل الطرق [3:17] الممكنة التي قد أكون [3:19] وصلت بها إلى الحالة x [3:21] of t، وأقوم بوزن تلك [3:23] الطرق احتماليًا من [3:24] خلال مراعاة احتمالية [3:26] وجودي في كل واحدة من [3:28] تلك الحالات في المقام [3:30] الأول، وأنني من تلك [3:32] الحالات أنتقل إلى [3:34] الحالة الحالية x of t [3:35] باستخدام التحكم u t. [3:37] لذا، إذا فكرت في [3:39] الأمر، فهو بديهي إلى [3:40] حد ما. هل توافقني [3:42] الرأي؟ هل الحدس واضح؟ [3:47] الآن، هنا لم نأخذ في [3:49] الاعتبار أحدث قياس [3:50] قمنا به بعد. إذن، ما [3:52] نقوم به في خطوة [3:53] التصحيح، مرة أخرى، [3:55] قمنا باستنتاج هذا [3:57] بدقة، لكن الحدس هو [3:59] أنها مجرد خطوة توافق. [4:01] نحن نتحقق مما إذا كان [4:03] ما نعتقده بشأن حالتنا [4:05] الحالية X of T متوافقاً [4:07] مع القياس الذي جمعناه [4:09] للتو. على وجه الخصوص، [4:11] إذا كانت احتمالية [4:12] القياس الذي تلقيته [4:14] للتو منخفضة للغاية [4:16] فيما يتعلق بالقيمة [4:17] الممكنة لـ X of T، فإنني [4:19] أعيد نمذجة هذا [4:21] الاحتمال بقيمة [4:22] منخفضة جداً. لذا، إذا [4:26] كان لدي قبل حساب [4:27] القياس تعيين احتمالي [4:29] فيما يتعلق بالحالة X of [4:31] T كبيراً جداً، أي أن [4:33] احتمالية، على سبيل [4:35] المثال، وجودي هنا [4:36] ربما تكون 0.8. ولكن بعد [4:38] ذلك أحصل على قياس غير [4:40] متوافق تماماً مع [4:41] حقيقة وجودي هنا، فمن [4:43] المنطقي تصحيح هذا [4:45] الاحتمال باحتمالية [4:46] أقل بكثير. وبالطبع، [4:51] ولكن على العكس من ذلك [4:53] ، إذا كان متوافقاً [4:54] جداً، فإننا نزيد هذا [4:56] الاحتمال. لذا، آمل أن [5:02] يكون الحدس واضحاً [5:04] تماماً. في الخطوة [5:05] الأولى، ننظر إلى كل [5:07] الطرق الممكنة التي قد [5:08] نكون وصلنا بها إلى [5:10] الحالة الحالية X of T، [5:11] ونقوم بوزن كل من تلك [5:13] الطرق باستخدام [5:14] المعلومات التي لدينا [5:16] فيما يتعلق بالاعتقاد [5:17] المسبق ونموذج [5:19] الانتقال للحالة. في [5:21] الخطوة الثانية، نعيد [5:22] معايرة الاحتمالات من [5:24] خلال التأكد من [5:25] توافقها مع القياسات [5:27] التي جمعناها للتو. [5:29] أجل. إذن، هذا مثير [5:39] للاهتمام، فبادئ ذي [5:41] بدء، إذا كان احتمال ZT [5:43] بمعلومية XT صفراً، [5:44] فإنه يصبح صفراً [5:46] بالفعل. وبالتالي، في [5:48] الواقع، تلك [5:49] المعلومات مفيدة [5:50] للغاية. في الواقع، [5:52] تذكر أنه ليس لديك [5:54] وصول كامل إلى الحالة X [5:56] لـ T، بل لديك اعتقاد [5:57] فقط. ما تقوله هو أننا [5:59] إذا افترضنا أننا في [6:01] الحالة X لـ T وكان [6:02] القياس غير متوافق، [6:04] فإن هذه المعلومة [6:05] مفيدة للغاية في [6:06] الواقع. إنها تعني [6:08] بالتأكيد أنك لست عند X [6:10] لـ T، لذا فأنت لا ترغب [6:11] حقاً في إجراء قياس [6:13] آخر. بعد قولي هذا، [6:15] هناك تعميم لما أقوله [6:17] هنا، والذي يُشار إليه [6:19] بالتقدير النشط، حيث [6:21] تقوم بدلاً من حساب [6:23] عناصر تحكم لا تأخذ في [6:25] الاعتبار عملية [6:26] التقدير، بحساب عناصر [6:28] تحكم لا تحاول فقط [6:30] إنجاز المهمة [6:31] المطلوبة، بل تحاول في [6:33] الوقت ذاته إزالة [6:34] الغموض قدر الإمكان [6:36] حول معلومات وضعك أو [6:38] الخريطة وما إلى ذلك. [6:41] إنه نشط لأنك تحاول [6:43] بطريقة ما توجيه [6:44] الحركات والقياسات [6:46] بحيث تقلل من عدم [6:47] اليقين في المُرشّح [6:49] الخاص بك. فكر في حالة [6:52] ضياعك في غابة، أليس [6:54] كذلك؟ ثم تحاول الآن [6:56] المشي، محاولاً [6:57] الوصول إلى موقع قد [6:58] يكون لديك فيه [6:59] إحداثيات ثابتة [7:01] بالنسبة لمنارة أو شيء [7:02] من هذا القبيل. سيكون [7:04] ذلك بمثابة قياسات [7:06] نشطة. إذا لم تكن نشطاً [7:07] وكنت سلبياً فقط، [7:08] ستستمر في المشي [7:09] محاولاً تحقيق هدفك، [7:10] لكن عدم اليقين في [7:11] المُرشّح سيكون أكبر. [7:13] هل هذا منطقي؟ مرة [7:14] أخرى، الهدف من هنا هو [7:16] إزالة الغموض عن [7:17] مُرشّح بايز. قد يبدو [7:19] الأمر مقلقاً في [7:20] البداية، لكنه في [7:22] الواقع بديهي للغاية. [7:24] حسناً، لقد قمنا [7:25] بالاشتقاق الرسمي له. [7:27] أريد فقط أن أذكر أننا [7:29] اشتققنا مُرشّح بايز [7:31] في إعداد مستمر، مما [7:32] يعني افتراض أن الحالة [7:34] X لـ T يمكن أن تأخذ أي [7:36] قيمة في نطاق معين. لكن [7:39] يمكننا أيضاً النظر في [7:41] نسخة متقطعة (منفصلة) [7:43] من مُرشّح بايز، حيث [7:45] تأخذ الحالة X لـ T [7:47] عدداً محدداً من القيم [7:49] ، لنقل N كبيرة، بدلاً [7:51] من أخذ أي قيم ممكنة في [7:54] النطاق. هيكل المُرشّح [7:58] هو نفسه تماماً. الفرق [8:01] الوحيد هو أننا الآن [8:02] نفكر بالنسبة لكل قيمة [8:04] ممكنة للحالة [8:06] المتقطعة. إذاً، K هو [8:08] عداد بين 1 و N الكبيرة. [8:10] وبدلاً من التكاملات، [8:12] لدينا مجاميع. في [8:13] الواقع، بالنسبة [8:15] للمُرشّح المتقطع، [8:16] يكون الحدس أوضح بكثير [8:18] . لذا، لحساب احتمال أن [8:20] أكون في الحالة K عند [8:22] الزمن T، أنظر إلى [8:24] احتمال أن أكون في أي [8:25] حالة ممكنة I عند الزمن [8:27] T-1؛ ثم أضرب هذا [8:29] الاحتمال في احتمال [8:30] الانتقال من الحالة I [8:32] إلى الحالة K إذا [8:34] استخدمت التحكم UT، [8:35] وأقوم بجمع كل هذه [8:37] الاحتمالات. إذن، [8:38] بطريقة ما، مرشح بايز [8:40] المتقطع هو نفسه من [8:42] الناحية المفاهيمية، [8:43] لكنه أكثر سهولة في [8:45] الفهم. لذا، إذا كانت [8:49] لديك أي شكوك حول مرشح [8:51] بايز، انظر إلى نسخته [8:53] المتقطعة. حاول حل [8:54] بضعة أمثلة بنفسك، [8:56] وستجد أنها مباشرة [8:58] تماماً. حسناً. للأسف، [9:03] في عموميته الكاملة، [9:05] يصعب تطبيق مرشح بايز [9:07] هنا. إنه بسيط من [9:10] الناحية المفاهيمية، [9:12] لكن إذا أردت تنفيذه، [9:13] فإنه يصبح معقداً. [9:15] لماذا هو معقد؟ حسناً، [9:17] أولاً وقبل كل شيء، [9:18] أنا هنا أقوم بعمل [9:19] حلقة تكرارية لكل X عند [9:20] T، لذا فأنا هنا أغش [9:21] قليلاً. أنا أفترض أن [9:23] بإمكاني حصر جميع [9:24] الحالات الممكنة لـ X [9:26] عند T في نطاق مستمر، [9:27] لكن هذا غير ممكن [9:29] بوضوح. لا يمكنك [9:30] القيام بذلك على [9:31] الحاسوب. لا يمكنك حصر [9:33] كل رقم حقيقي ممكن. [9:36] وحتى لو استطعت ذلك، [9:37] يتعين علينا حل هذا [9:39] التكامل الذي يكون [9:41] عادة متعدد الأبعاد. [9:42] هذا هو التكامل [9:44] بالنسبة لجميع [9:45] الحالات الممكنة. [9:46] الحالات هي عموماً [9:47] كائنات متعددة [9:49] الأبعاد، مثل الموقع، [9:50] والاتجاه، والسرعات، [9:52] وما إلى ذلك. إذاً، هذا [9:54] تكامل متعدد الأبعاد. [9:56] بشكل عام، هذا أمر [9:57] يستحيل حسابه برمجياً. [10:00] ما سنناقشه بعد ذلك، [10:01] وهو موضوع محاضرة [10:03] اليوم، هو كيفية جعل [10:05] مرشح بايز قابلاً [10:06] للمعالجة بحيث يمكنك [10:08] إجراء الحسابات. من [10:11] منظور التنفيذ، سيتم [10:13] تغطية ذلك في الواجب [10:15] الرابع. موضوع اليوم [10:28] هو كيفية جعل مرشح [10:29] بايز قابلاً للمعالجة [10:31] حاسوبياً. مجدداً، أنا [10:33] لا أتحدث حالياً عن [10:34] التطبيق المحدد لمرشح [10:36] بايز في التموضع، بل [10:37] أضع الأسس فقط لنتمكن [10:39] في الأسبوع المقبل من [10:41] تطبيقها على مهام [10:42] التموضع والتموضع [10:43] ورسم الخرائط في آن [10:45] واحد. هناك طريقتان [10:49] رئيسيتان لجعل مرشح [10:51] بايز قابلاً للمعالجة. [10:55] كلا الطريقتين، [10:56] بطريقة أو بأخرى، [10:57] تستغلان بذكاء الهيكل [10:59] أو التقريب في إجراءات [11:01] التصفية. على وجه [11:04] الخصوص، يمكننا تمييز [11:06] نهجين رئيسيين، [11:07] المرشحات البارامترية [11:09] والمرشحات غير [11:10] البارامترية. في حالة [11:12] المرشحات البارامترية [11:14] ، ما نقوم به هو فرض [11:16] هيكل معين على [11:17] الاعتقاد. على وجه [11:22] الخصوص، على سبيل [11:24] المثال، نحن نفرض أن [11:26] يكون الاعتقاد [11:27] توزيعاً غاوسياً، [11:29] وبدلاً من التفكير [11:31] بدالة كثافة عامة، [11:32] نفكر في المعلمات التي [11:34] تحدد فئة التوزيعات [11:36] التي نفرض على [11:37] الاعتقاد استيفاءها. [11:42] لذا، كما سنرى لاحقاً [11:44] بشكل أفضل، إذا كان [11:45] لدينا توزيع غاوسي، [11:47] فكم عدد المعلمات التي [11:50] تميزه؟ صحيح، المتوسط [11:52] والانحراف المعياري. [11:54] لذا، عندما نطبق كل [11:56] تلك التكاملات في مرشح [11:58] بايز، ما علينا فعله، [12:00] إذا افترضنا أن [12:01] الاعتقاد هو بالفعل [12:03] توزيع غاوسي، هو [12:05] التفكير فقط في كميتين [12:07] ، المتوسط والتباين. [12:09] بدلاً من تمرير دالة [12:10] الكثافة بأكملها، [12:12] نقوم بتمرير المتوسط [12:14] والتباين فقط، وهذا [12:16] تبسيط جذري. سيؤدي هذا [12:18] إلى فئة مرشحات كالمان [12:20] ومرشحات كالمان [12:22] الممتدة من أجل [12:23] التوطين. هذه مجرد [12:25] طريقة واحدة لفرض هيكل [12:27] من حيث فئة معلمية من [12:29] دوال الكثافة التي [12:31] نفترض أن الاعتقاد يجب [12:33] أن يمتلكها. هناك طرق [12:35] أخرى أيضاً، ولكن من [12:36] أجل هذه المحاضرة، [12:38] سنركز بشكل أساسي على [12:40] الهياكل الغاوسية. [12:42] يُشار إلى فئة [12:43] الأساليب الأخرى [12:44] بالمرشحات غير [12:45] المعلمية. هنا، لا [12:49] نفرض أي هيكل محدد على [12:51] الاعتقاد، بل نستغل [12:53] تقريبات، على سبيل [12:55] المثال، من خلال أخذ [12:57] عينات مونت كارلو. [13:00] بشكل أساسي، نحن نقرب [13:04] دالة الكثافة من خلال [13:06] مجموعة مختارة بعناية [13:07] من الجسيمات، ثم نقوم [13:09] بدفع هذه الجسيمات [13:11] للأمام. سنتحدث اليوم [13:13] عن المرشحات المعلمية [13:15] ، ومرشح كالمان الممتد [13:17] (EKF) بالتحديد يوم [13:19] الجمعة. بالنسبة لطلاب [13:21] الدراسات العليا، [13:22] سنتحدث غداً عن [13:24] المرشحات غير [13:25] المعلمية، وبشكل خاص [13:26] مرشح الرسم البياني [13:28] ومرشح الجسيمات. هل [13:30] هناك أي أسئلة على [13:32] الأقل على المستوى [13:33] العام حول الفرق بين [13:34] المعلمية وغير [13:35] المعلمية؟ المعلمية، [13:38] كما قلت، نفترض هيكلاً [13:40] معيناً للاعتقاد بحيث [13:42] يمكننا التفكير [13:43] بكفاءة أكبر في كيفية [13:45] تمرير الاعتقاد عبر [13:47] الزمن. بدلاً من تمرير [13:49] الدالة بأكملها، نقوم [13:51] فقط بتمرير بعض [13:52] المعلمات التي تميز [13:53] الهيكل الذي نستخدمه. [13:55] على سبيل المثال، في [13:56] حالة التوزيع الغاوسي [13:57] ، المتوسط والانحراف [13:58] المعياري. في حالة [13:59] المرشح غير المعلمي، [14:01] نستخدم تقريباً [14:04] للاعتقاد من حيث [14:05] الجسيمات، بشكل أساسي. [14:11] حسناً. لذا، دعونا [14:13] نبدأ، اليوم نركز على [14:15] المرشحات المعلمية. [14:18] وعلى وجه الخصوص، فئة [14:23] الهياكل التي [14:24] سنستخدمها هي فئة [14:25] التوزيعات الغاوسية. [14:28] على وجه التحديد، [14:30] نفترض أن الاعتقاد [14:31] يتبع توزيعاً غاوسياً. [14:34] ما هو التوزيع الغاوسي [14:36] ؟ مرة أخرى، يجب أن [14:37] تكونوا على دراية بهذه [14:39] المعلومات لأن نظرية [14:41] الاحتمالات شرط أساسي [14:42] لهذا الصف. ولكن، [14:44] لضمان أن الجميع على [14:46] وفاق، سأقدم نظرة عامة [14:48] بنفس أسلوب المرة [14:50] السابقة حول الأدوات [14:52] الأساسية التي [14:53] نحتاجها من التوزيعات [14:55] الغاوسية لجعل هذه [14:57] المحاضرة واضحة قدر [14:58] الإمكان. إذاً، على [15:01] وجه الخصوص، المتغير [15:02] العشوائي الغاوسي هو [15:04] متغير عشوائي تتبع [15:05] كثافته ما يسمى [15:07] بالتوزيع الغاوسي. [15:09] التوزيع الغاوسي [15:10] مكتوب هنا. إذاً، هو [15:13] دالة أسية لـ -1 على 2 [15:15] مضروباً في مربع (x-mu) [15:17] مقسوماً على مربع [15:19] سيغما. ميو هي متوسط [15:21] المتغير العشوائي، أي [15:22] القيمة المتوقعة. [15:25] سيغما تربيع هي تباين [15:27] المتغير العشوائي. [15:30] يمكنكم أن تروا أن [15:32] معامل الدالة الأسية [15:34] يعتمد على مربع X ثم [15:35] يتم ترجيح كل شيء [15:37] بدالة أسية. بيانياً، [15:40] إذا قمت برسم هذه [15:41] الدالة لقيم معينة لـ [15:43] ميو (القيمة المتوقعة) [15:46] وسيغما (الانحراف [15:47] المعياري)، فإن [15:49] التوزيع الغاوسي يتخذ [15:51] شكل الجرس. كلما زادت [15:53] قيمة سيغما، أصبح [15:55] التوزيع أكثر تسطحاً. [16:00] لاحظ أن لهذا التوزيع [16:02] نطاقاً غير محدود، مما [16:04] يعني أنه يطبق [16:06] احتمالية غير صفرية [16:07] لكل قيمة ممكنة لـ X من [16:09] سالب مالانهاية إلى [16:11] موجب مالانهاية. [16:15] بالطبع، كلما اتجهت [16:16] نحو موجب مالانهاية، [16:17] أي ابتعدت كثيراً عن [16:19] المتوسط، تصبح [16:20] الاحتمالية صغيرة [16:21] للغاية، لكنها تظل غير [16:23] صفرية. سنعود إلى هذه [16:25] النقطة بعد قليل. لذا [16:27] من الشائع التفكير [16:29] بدلالة سيغما واحدة، [16:31] وسيغما اثنتين، وثلاث [16:33] سيغما. أساساً، [16:34] احتمالية أن يقع [16:35] المتغير العشوائي في [16:36] الفترة بين سالب سيغما [16:38] وموجب سيغما هي حوالي [16:39] 68%، وبين سالب اثنين [16:41] سيغما وموجب اثنين [16:42] سيغما حوالي 95%، وهكذا. [16:44] هذا ما تعنيه سيغما [16:45] واحدة وسيغما اثنتان. [16:48] والآن، ماذا يعني فرض [16:50] أن الاعتقاد يتبع [16:51] توزيعاً غاوسياً؟ [16:56] حسناً، عملياً يعني [16:57] ذلك الالتزام ببعض [16:59] العواقب العملية. [17:04] أولاً، إذا أجبرنا [17:05] الاعتقاد على أن يكون [17:07] غاوسياً أو قمنا [17:09] بتقريبه ليكون [17:10] توزيعاً غاوسياً، [17:11] فنحن نفكر أساساً [17:13] بتوزيع أحادي المنوال. [17:15] إذاً نحن نتابع فرضية [17:17] واحدة فقط حول مكان [17:18] تواجدنا المحتمل. [17:20] بفرضية، أعني قمة [17:21] واحدة في توزيعك، وهي [17:23] القيمة الأكثر [17:25] احتمالاً في توزيعك. [17:28] كما قلت في المرة [17:30] السابقة، عندما نتحدث [17:32] عن التموضع، بشكل عام، [17:33] يكون الاعتقاد كائناً [17:35] متعدد المنوال، مما [17:37] يعني أنه يمكننا تعيين [17:38] قيم احتمالية عالية في [17:40] أجزاء مختلفة من نطاق [17:42] التكامل. على سبيل [17:43] المثال، إذا هبطت فجأة [17:45] في حرم جامعة ستانفورد [17:47] ورأيت غرفة، سأخصص [17:48] احتمالاً عالياً لهذه [17:49] الغرفة، وربما [17:51] احتمالاً عالياً [17:52] لغرفة أخرى تبدو [17:53] مشابهة، واحتمالاً [17:54] منخفضاً جداً لحديقة، [17:56] وهكذا. إذن، بشكل [17:57] أساسي، ما نفعله هو [17:59] أخذ ذلك الكائن [18:00] وتقريبه باستخدام [18:02] توزيع غاوسي. وهو ما [18:04] يُعد تقريباً سيئاً [18:06] للغاية إذا كان توزيعك [18:08] الأساسي الحقيقي [18:09] متعدد الوسائط. لنفترض [18:11] أن توزيعك الأساسي [18:12] يبدو كهذا، حيث يوجد [18:14] احتمال عالٍ لوجودك [18:16] هنا واحتمال عالٍ [18:17] لوجودك هنا، فأنت تقول [18:19] إنك تقرّب كل هذا [18:21] بتوزيع غاوسي يضع [18:22] الكتلة في هذه البقعة [18:24] البنية. والآن، لماذا [18:29] نستخدم التوزيع [18:30] الغاوسي كفئة [18:31] بارامترية للتوزيعات [18:33] نستخدمها في التوطين؟ [18:36] حسناً، أولاً، لأننا [18:37] سنرى أنه يؤدي إلى [18:39] تنفيذ سريع جداً لمرشح [18:41] بايز. ثانياً، في [18:43] الحالات التي تبدأ [18:45] فيها بتهيئة المرشح [18:47] بتقدير أولي جيد بما [18:48] يكفي، فمن المعقول [18:50] افتراض أن التوزيع [18:52] الأساسي الحقيقي يظل [18:53] أحادي الوسائط. لذلك، [18:56] من المعقول تقريب ذلك [18:58] بتوزيع أحادي الوسائط [19:00] ذي بنية محددة. هل هذا [19:03] منطقي؟ من المهم جداً [19:06] أن تكون على دراية [19:07] بعواقب التقريب الذي [19:09] تقوم به. وإلا، ستطبق [19:10] خوارزمية، وتحصل على [19:12] نتائج غير منطقية، ولن [19:14] تعرف ما إذا كان ذلك [19:16] خطأً في الكود الخاص [19:17] بك أو شيئاً أكثر [19:19] جوهرية في الرياضيات. [19:21] هناك جانب آخر غريب [19:22] بعض الشيء في التوزيع [19:24] الاحتمالي الغاوسي [19:25] وهو أننا نضع احتمالاً [19:27] غير صفري على كل القيم [19:29] الممكنة لـ X من سالب [19:31] ما لا نهاية إلى موجب [19:32] ما لا نهاية. بشكل [19:34] أساسي، مع التوزيع [19:36] الغاوسي، إذا عاملته [19:38] كتقريب لمعتقدك، فأنت [19:40] تضع أيضاً احتمالاً [19:42] ضئيلاً جداً بأنك تبعد [19:44] بضع سنوات ضوئية عن [19:45] الأرض. هذا هو ما تفعله [19:48] أساساً. بالطبع، هذا [19:50] غير منطقي مرة أخرى، [19:52] لكن النقطة هي أن [19:53] الاحتمال صغير جداً [19:55] لدرجة أنه لا يؤثر [19:56] فعلياً على الأداء [19:58] العملي للخوارزمية [20:00] التي تحصل عليها بهذا [20:01] التقريب. لكن مرة أخرى [20:03] ، من المهم أن تضع في [20:05] اعتبارك ما هي العواقب [20:06] التي تلتزم بها في كل [20:08] مرة تقوم فيها بعملية [20:09] تقريب. حسناً. إذن، هذا [20:12] هو تعريف المتغير [20:13] العشوائي الغاوسي في [20:14] بُعد واحد. التوسيع [20:16] إلى أبعاد متعددة، وهو [20:18] ما نحتاجه لأن متجه [20:20] الحالة بشكل عام هو [20:22] كائن متعدد الأبعاد، [20:24] مشابه جداً. الفرق [20:26] الوحيد هو أنه بدلاً [20:28] من التفكير في التباين [20:30] كرقم، أصبح لدينا الآن [20:32] مصفوفة تباين مشترك. [20:35] وبدلاً من التفكير في [20:37] المتوسط كرقم، أصبح [20:38] لدينا الآن متجه [20:40] للمتوسطات. كل [20:41] مُركِّبة من هذا [20:42] المتجه هي المتوسط [20:44] للمُركِّبة المقابلة [20:45] لها في متجه المتغير [20:47] العشوائي. إذًا، [20:52] التوزيع الغاوسي في [20:53] بُعدين له شكل يشبه [20:55] الوعاء، وستبدو [20:56] مخططات الكنتور [20:58] كأشكال بيضاوية. بشكل [20:59] أساسي، هذا هو التوزيع [21:01] الغاوسي مسقطاً على [21:02] المستوى. هذا سيكون [21:04] المتوسط، وهذه ستكون [21:05] مخططات الكنتور [21:06] بالنسبة لقيم سيجما [21:07] المختلفة. إذًا، [21:09] باحتمالية 68%أنت هنا، [21:10] وباحتمالية 95%أنت داخل [21:12] هذا الشكل البيضاوي، [21:14] وهكذا. بالطبع، في [21:15] الأبعاد الثلاثة أو [21:16] الأربعة، لا يمكنك [21:17] تصور ذلك بعد الآن، [21:18] لكن الحدس يظل كما هو. [21:20] إذًا، هل هناك أي [21:21] أسئلة هنا؟ يجب أن [21:22] يكون هذا مباشراً [21:24] للغاية. الآن، هناك [21:25] بعض خصائص المتغيرات [21:27] العشوائية الغاوسية [21:29] التي تعرفونها [21:30] بالتأكيد بالفعل، [21:32] لكنني أريد فقط التأكد [21:33] من توضيحها لأننا [21:35] سنستخدمها بكثافة. [21:37] بادئ ذي بدء، إذا طبقت [21:39] تحويلاً خطياً على [21:40] متغير عشوائي غاوسي، [21:42] فإن ما تحصل عليه لا [21:44] يزال متغيراً [21:45] عشوائياً غاوسياً مع [21:47] علاقة لطيفة جداً فيما [21:48] يتعلق بالمتوسط [21:50] والانحراف المعياري. [21:54] تحديداً، لنفترض أن [21:56] لديك متغيراً [21:57] عشوائياً X يتبع [21:59] التوزيع الغاوسي [22:00] بمتوسط ميو وتباين [22:02] سيجما. الانحراف [22:05] المعياري سيجما. حرف N [22:06] يعني التوزيع الطبيعي. [22:08] إذًا، هو في الأساس [22:09] التوزيع الغاوسي. ميو [22:11] وسيجما هما المعلمتان [22:12] اللتان تحددان [22:12] المتغير العشوائي [22:13] الغاوسي. ومن المهم، [22:15] كما ذكرت سابقاً، أن [22:16] المتغير العشوائي [22:17] الغاوسي يتحدد [22:18] بالكامل بمعلمتين. [22:20] إذًا، إذا أعطيتك ميو [22:21] وسيجما، أو في حالة [22:23] المتغيرات المتعددة، [22:24] مصفوفة التغاير ومتجه [22:26] التوقعات، فأنت تعرف [22:28] الكثافة بالكامل بدقة. [22:30] تلك هي إحدى المزايا [22:31] الرئيسية للتوزيع [22:32] الغاوسي. لذا، من [22:33] الناحية الحسابية، [22:35] سيكون التعامل معه أقل [22:37] تكلفة بكثير. لنفترض [22:39] الآن أنني قمت بتكوين [22:41] متغير عشوائي آخر Y [22:42] يساوي AX + B. أو لنفترض [22:44] أننا في بُعد واحد فقط [22:46] لإبقاء الأمور بسيطة. [22:48] AX + B. إذًا، ما هو توقع Y [22:53] ؟ توقع Y هو A في توقع X. [23:02] إذًا، هو يساوي A [23:03] مضروبة في ميو. وما هو [23:06] الانحراف المعياري لـ [23:07] ...حسناً، ما هو تباين Y [23:09] ؟ إذًا تباين Y سيكون [23:14] ماذا؟ سيكون Y ناقص [23:29] توقع Y مربّعاً، وهو [23:32] يساوي توقع AX زائد B [23:41] ناقص A...لقد حسبنا [23:43] بالفعل هنا توقع Y وهو A [23:45] ميو زائد B. لذا فهذا [23:47] يُلغي بعضه. إذًا هذا [23:51] يساوي تربيع. إذًا هذا [23:56] يساوي توقع A تربيع في X [23:58] ناقص ميو مربّع. لكن [24:03] التوقع خطي. نعم، إنها [24:05] دالة خطية، لذا يخرج [24:08] الثابت للخارج. إذن [24:10] هذا يساوي يساوي A [24:17] تربيع في توقع X ناقص [24:19] ميو تربيع. وهذا هو [24:23] بالضبط تباين X. الآن، [24:30] الخطوة الأخيرة ستكون [24:32] إثبات أن Y هي بالفعل [24:34] غاوسية. وهو أمر ليس [24:36] معقداً للغاية، لكننا [24:37] سنتجاوز الإثبات هنا. [24:39] إذن النقطة الأساسية [24:41] هي أنه إذا طبقت [24:42] تحويلاً خطياً على [24:44] متغير عشوائي غاوسي أو [24:46] متجه عشوائي غاوسي، [24:48] فإن ما أحصل عليه لا [24:49] يزال متغيراً [24:50] عشوائياً غاوسياً أو [24:52] متجهاً عشوائياً [24:54] غاوسياً بمتوسط يساوي [24:56] التحويل الخطي المطبق [24:58] على ميو، أي القيمة [24:59] المتوقعة لـ X، وتصحيح [25:01] تربيعي، إذا جاز [25:03] التعبير، للانحراف [25:04] المعياري لـ X. وبشكل [25:06] خاص، بدلالة A سيجما A [25:08] منقولة. في هذه الحالة [25:12] ، بما أننا كنا نفكر في [25:13] متغير عشوائي غاوسي [25:15] أحادي البعد، فبدلاً [25:17] من الحصول على A سيجما [25:19] تربيع A منقولة، لدينا [25:20] A تربيع. لأن منقول A هو [25:23] A نفسها. لذا، فإن A في A [25:25] منقولة يساوي A تربيع. [25:26] حسناً. خاصية أخرى [25:30] مهمة للغاية هي أننا [25:33] إذا أخذنا متغيرين [25:35] عشوائيين، X1 و X2، وكل [25:37] منهما غاوسي، ونشير [25:39] إلى ميو I وسيغما I [25:41] كتوقع Xi ومصفوفة [25:42] التباين أو مصفوفة [25:44] التغاير لـ Xi، فإن [25:46] مجموعهما لا يزال [25:48] متجهاً عشوائياً أو [25:50] متغيراً عشوائياً [25:52] غاوسياً بتوقع يساوي [25:54] مجموع التوقعين، وهذا [25:56] أمر بديهي. إذا جمعت [26:01] متغيرين عشوائيين، [26:02] فإن توقع المجموع هو [26:04] مجموع التوقعات. لذا، [26:06] لا يوجد سحر هنا. لكن، [26:08] المثير للاهتمام في [26:10] الواقع هو أن مصفوفة [26:13] التغاير هي مجموع [26:14] مصفوفتي التغاير. مرة [26:18] أخرى، لن أثبت ذلك هنا. [26:20] كان يجب أن تثبتوا هذا [26:22] في درس نظرية [26:23] الاحتمالات. ليس [26:24] معقداً جداً بالنسبة [26:25] لنا. نحن نأخذه كحقيقة [26:27] فقط. نعم. [26:29] >> القيمة المتوقعة لـ Y [26:31] هي A في X زائد A في ميو [26:34] زائد B. [26:35] >> نعم. أوه، بالتأكيد. [26:41] بالطبع. كان ذلك خطأً [26:47] فادحاً. نعم، شكراً لك. [26:51] وأخيراً، إذا أخذت [26:53] حاصل ضرب دالتي كثافة [26:55] احتمال غاوسيتين، فإن [26:57] ما أحصل عليه لا يزال [26:59] دالة كثافة احتمال [27:00] غاوسية. وهو ما يعود [27:03] مرة أخرى إلى حقيقة [27:05] أنه عندما أضرب دالة [27:06] أسية، فإن ما أحصل [27:07] عليه لا يزال دالة [27:09] أسية. ثم بإكمال [27:10] المربع، سأحصل على [27:11] دالة كثافة احتمال [27:13] غاوسية. مرة أخرى، [27:14] نأخذه كحقيقة. إذا [27:16] أردتم إثبات ذلك، [27:18] كالعادة لكل محاضرة، [27:19] سأعطيكم بعض القراءات [27:21] الإضافية. على وجه [27:22] الخصوص، المواد التي [27:24] غطيناها في المحاضرة [27:25] السابقة، وهذه [27:26] المحاضرة، ومحاضرة [27:28] الغد مستمدة من كتاب [27:29] يسمى الروبوتات [27:31] الاحتمالية، وهو كتاب [27:32] ممتاز يغطي موضوع [27:34] الترشيح، وتحديد [27:35] الموقع، ونظام "سلام" [27:36] لاستقلالية الروبوت. [27:39] حسناً. إذن، نحن نعتبر [27:41] هذه الحقائق الثلاث [27:43] مسلمات. تأكدوا من [27:45] تذكرها لأننا [27:46] سنستخدمها بشكل موسع [27:47] لاحقاً. حسناً. إذن، [27:52] تذكروا، ما نحاول [27:54] القيام به هو صياغة [27:56] مرشح "بايز" في شكل [27:57] قابل للحساب. على وجه [28:03] الخصوص، سنبدأ بالقول [28:05] إنه من خلال النظر في [28:06] إعداد أكثر تحديداً [28:08] للمشكلة، يصبح اعتبار [28:10] التوزيع الغاوسي ليس [28:12] تقريبياً، بل دقيقاً. [28:16] ثم سنرى لاحقاً كيف [28:18] يمكننا توسيع هذا [28:19] ليشمل الإعداد غير [28:21] الخطي، حيث يكون [28:22] الهيكل الغاوسي في [28:24] الواقع تقريبياً. لذا، [28:27] دعونا نفترض الآن أن [28:29] ديناميكيات نظامنا [28:31] خطية. أي أن الحالة في [28:35] الوقت "t" تساوي "At xt-1 + Bt [28:39] ut + εt". إذن، تعتمد [28:42] الحالة في الوقت [28:44] الحالي على التحويل [28:45] الخطي للحالة في الوقت [28:47] السابق والتحكم [28:48] الحالي بالإضافة إلى [28:49] اضطراب عشوائي "εt". "εt" [28:51] هو متغير عشوائي نفترض [28:53] أنه موزع كتوزيع غاوسي [28:55] . وعلى وجه الخصوص، [28:57] نفترض أن له متوسطاً [28:58] صفرياً ومصفوفة تباين [29:00] مشتركة تساوي "Rt". ما [29:02] يعنيه الرمز الفرعي "t" [29:04] هنا هو أن المصفوفة "A" [29:06] و "B" يمكن أن تتغير [29:07] بمرور الوقت. لكنها لا [29:09] تعتمد على "x". إذن، هذا [29:12] نموذج خطي متغير [29:14] زمنياً. بالإضافة إلى [29:16] ضوضاء عشوائية. من أين [29:18] تأتي هذه الضوضاء [29:19] العشوائية؟ يشار إلى [29:21] ذلك باضطراب العملية، [29:22] وهو يعكس حقيقة أنه [29:24] بسبب عدم اليقين في [29:26] المحركات، أو عدم [29:27] اليقين في النموذج، أو [29:29] عدم اليقين بشأن [29:30] التفاعل بين المحركات [29:32] والبيئة، إذا قمت [29:33] بتنفيذ إجراء تحكم [29:35] معين، فإن الحالة التي [29:37] تنتهي إليها ليست [29:38] بالضرورة تلك التي [29:40] تتوقعها بنموذجك، بل [29:42] يوجد بعض عدم اليقين. [29:46] >> إذن، يمكنك تغيير [29:47] التباين. [29:48] >> نعم، دعونا نفترض أن "Rt [29:50] " ربما يتغير زمنياً. [29:53] >> وما هي الحالة المادية [29:54] لذلك؟ [29:55] >> هذا للحديث عن [29:56] العمومية الكاملة، [29:57] ولكن على سبيل المثال، [29:59] فكر في روبوت يتحرك [30:01] أولاً على الأسمنت، ثم [30:02] ينتقل إلى الرمل. [30:04] بالطبع، عندما تدور [30:05] عجلاتك على الرمل، [30:06] يكون لديك قدر أكبر [30:08] بكثير من عدم اليقين [30:09] بشأن مكان وجودك في [30:10] الخطوة التالية. في [30:13] الواقع، في معظم [30:14] الأوقات، يُعتبر "R" [30:16] ثابتاً زمنياً. لكن [30:18] هذا يعني أننا في وضع [30:19] محدد للغاية، وسنقوم [30:20] بتوسيع نطاقه لاحقاً [30:22] ليشمل الإعداد غير [30:23] الخطي وهو في النهاية [30:24] ما يهمنا حقاً في علم [30:26] الروبوتات. لكنه ليس [30:28] محدوداً تماماً، [30:29] لأننا على الأقل نأخذ [30:30] في الاعتبار الاعتماد [30:32] على الزمن. الآن، ما [30:36] الذي لدينا هنا؟ [30:38] لنفترض تذكر أنه في [30:39] مرشح بايز، الطريقة [30:41] التي نصيغ بها المشكلة [30:43] هي أن لدينا نموذجاً [30:45] توليدياً للحالة، ثم [30:47] لدينا نماذج قياس [30:48] مماثلة تتنبأ بما [30:50] سيكون عليه القياس [30:51] بناءً على حالة معينة x [30:53] عند t. إذن، ما نحاول [30:55] القيام به هو أنه [30:57] بالنظر إلى نموذج [30:58] الانتقال هذا، ما هو [31:00] نموذج انتقال الحالة [31:01] في إطار عمل مرشح بايز [31:03] ؟ إذن، ما هو احتمال x [31:05] عند t بشرط u عند t و x [31:06] عند t ناقص واحد؟ تذكر [31:09] أن هذا أحد المصطلحات [31:11] الأساسية لتنفيذ مرشح [31:13] بايز. على وجه الخصوص، [31:14] فهو يدخل في الخطوة [31:16] الأولى من مرشح بايز [31:17] حيث نحسب الاعتقاد [31:18] المتوقع. إذن، إذا كان [31:21] هذا هو نموذج انتقال [31:22] الحالة، فما هو احتمال [31:24] x عند t بشرط u عند t و x [31:25] عند t ناقص واحد؟ حسناً [31:27] ، إذا أعطيتك x عند t [31:29] ناقص واحد وأعطيتك u [31:31] عند t، يمكنك اعتبار x [31:33] عند t، أي الحالة في [31:35] الخطوة التالية، [31:37] بمثابة تحويل خطي [31:38] للمتغير العشوائي [31:40] إبسيلون عند t. إذن، [31:48] بشرط نقول إن x عند t [31:51] يساوي a عند t في x عند t [31:54] زائد b عند t في u عند t [31:56] زائد إبسيلون عند t. [31:57] إذن، بشرط x عند t ناقص [32:02] واحد و u عند t، فإن هذا [32:07] مقدار ثابت وهذا [32:11] عشوائي. ونريد حساب [32:15] احتمال x عند t بشرط x [32:17] عند t ناقص واحد و u عند [32:20] t. إذن، هذا هو توزيع [32:24] الاحتمال لمتغير [32:26] عشوائي غاوسي تم [32:28] تحويله خطياً. على وجه [32:30] الخصوص، المعامل الذي [32:31] نضرب المتغير [32:32] العشوائي فيه هو واحد [32:34] فقط، ثم نضيف الثابت. [32:36] باستخدام الخاصية رقم [32:38] واحد التي كانت لدينا [32:40] من قبل، ما نحصل عليه [32:42] لا يزال متغيراً [32:43] عشوائياً غاوسياً [32:45] متوسطه يساوي مجموع [32:47] متوسط الكمية [32:48] العشوائية زائد [32:49] الثابت. لكننا نفترض [32:52] أن إبسيلون عند t لها [32:54] متوسط صفر. إذن، توقع x [32:56] عند t يساوي ببساطة [33:01] الحد الثابت، أي a عند t [33:03] في x عند t ناقص واحد [33:05] زائد b عند t في u عند t. [33:08] وهو ما لديك هنا. ماذا [33:12] عن التباين؟ سيكون [33:17] التباين في العموم هو [33:18] تباين الحد العشوائي [33:20] مضروباً قبلاً وبعداً [33:22] في الحد الذي يضرب [33:23] المتغير العشوائي. هنا [33:26] ، لدينا فقط واحد أو [33:28] مصفوفة الوحدة. إذن، [33:30] ما نحصل عليه هو [33:32] ببساطة تباين ضوضاء [33:34] العملية. هنا، أنا لا [33:39] أحاول سوى قول "حسناً، [33:41] لنفترض"، والسبب الذي [33:42] يجعلني أفعل ذلك سيتضح [33:44] بعد لحظة. لننظر الآن [33:45] في إعداد زمن منفصل [33:47] حيث لدينا ديناميكيات [33:49] خطية. بناءً على ذلك [33:51] الإعداد، لنحاول [33:52] صياغة كل شيء في نفس [33:54] إطار مرشح بايز عندما [33:56] نتحدث عن نموذج توليدي [33:58] للحالات والقياسات. ثم [34:00] دعونا نطبقه، ولنرى [34:02] كيف يمكن تحويل مرشح [34:03] بايز فعلياً إلى شيء [34:05] يمكن حسابه بسهولة [34:07] بالغة. إذن، هل هناك أي [34:09] أسئلة حول هذا؟ حسناً. [34:14] الخطوة الثانية هي [34:15] افتراض نموذج خطي [34:17] لقياسك في الوقت [34:18] الحالي أيضاً. لذا، [34:20] نحن نفترض أن قياسك zt [34:22] يعتمد خطياً على [34:24] الحالة الحالية [34:25] بالإضافة إلى بعض [34:27] الضوضاء التي نفترض [34:29] أنها موزعة كـ غاوسي [34:31] بمتوسط صفر ومصفوفة [34:32] تباين مشترك QT. وبشكل [34:36] مشابه لما سبق، يمكننا [34:38] إعادة تفسير هذا [34:45] النموذج كتحويل خطي [34:47] لمصطلح الضوضاء دلتا T. [34:49] لذا، CT تساوي CT XT زائد [34:51] دلتا T. على وجه الخصوص [34:58] ، افترض أن XT معطاة في [35:00] إطار مرشح بايز. إذن، [35:03] هذا ثابت إذا افترضت [35:05] أن XT معطاة. هذه كمية [35:07] عشوائية. مرة أخرى، [35:09] باستخدام الخاصية رقم [35:11] واحد للتوزيعات [35:12] الغاوسية، ما أحصل [35:14] عليه هو توزيع غاوسي [35:16] بمتوسط CT XT. نحن نفترض [35:17] أن متوسط دلتا T يساوي [35:19] صفراً. ومع تباين [35:21] مشترك QT. إذن، نحن نبدأ [35:28] بافتراض أن لدينا [35:29] نموذجاً خطياً لكل من [35:31] معادلة انتقال الحالة [35:33] ومعادلة القياس. ومن [35:35] ذلك، اشتققنا النماذج [35:37] التوليدية لكل من [35:38] معادلة انتقال الحالة [35:40] ومعادلة القياس [35:42] المستخدمة في مرشح [35:43] بايز. أخيراً، لنفترض [35:51] أن توزيع الحالة [35:53] الأولية هو أيضاً [35:54] غاوسي. لذا، نحن لا [35:57] نعرف بالضبط أين نحن [35:59] في البداية، لكن لدينا [36:01] توصيف غاوسي له. على [36:03] وجه الخصوص، نفترض أن [36:05] الاعتقاد حول الحالة [36:07] في الوقت X صفر هو [36:09] غاوسي بقيمة متوقعة [36:10] تساوي mu صفر وتباين [36:12] مشترك يساوي سيجما صفر [36:14] . الآن، هذه [36:19] الافتراضات الثلاثة، [36:21] أي معادلة انتقال [36:23] الحالة الخطية، [36:24] ومعادلة القياس [36:26] الخطية، والتوزيع [36:27] الغاوسي الأولي [36:29] للحالة الأولية، تضمن [36:34] أن الاعتقاد في جميع [36:36] الأوقات هو في الواقع [36:37] غاوسي. لذا، إذا تم [36:41] التحقق من تلك [36:42] الافتراضات الثلاثة، [36:44] فسيكون الاعتقاد في [36:45] الواقع غاوسياً. لا [36:47] يوجد تقريب في استخدام [36:48] هيكل غاوسي للاعتقاد. [36:51] سنرى لاحقاً متى سيصبح [36:53] هذا تقريباً. علينا [36:56] إثبات ذلك. أعني، [36:58] الأمر ليس بديهياً. [36:59] سنقوم بإثباته بعد [37:00] لحظة. لكن، في الوقت [37:02] الحالي، هذا هو [37:02] الاستنتاج الرئيسي. [37:04] وهو أنه إذا تم [37:05] استيفاء تلك [37:05] الافتراضات الثلاثة، [37:07] فإن الاعتقاد في كل [37:08] وقت t هو بالفعل توزيع [37:09] غاوسي. ما هو الأثر [37:10] العملي لذلك؟ هو أنه [37:13] لتنفيذ مرشح "بيز"، ما [37:15] أحتاج إلى القيام به [37:17] هو ببساطة التفكير [37:21] فيما يتعلق بالتوقع [37:23] والتباين للتوزيعات [37:24] الغاوسية التي تمثل [37:26] الاعتقاد في كل وقت t. [37:29] لذا، بدلاً من نقل [37:31] دالة كثافة كاملة، [37:33] أقوم فقط بنقل متجه [37:35] ومصفوفة. لكنني لم [37:40] أوضح لك بعد أن هذا هو [37:41] الحال بالفعل. سنقوم [37:43] بتوضيح ذلك بعد لحظة. [37:45] الآن، إعداد هذه [37:46] المشكلة، وخاصة تنفيذ [37:48] مرشح "بيز" ضمن هذا [37:49] الإطار، يُشار إليه [37:51] باسم مرشح "كالمان". [37:53] والذي كان وهو المرشح [37:56] الأكثر تأثيراً على [37:58] الإطلاق، خاصة في سياق [38:00] الروبوتات. تم تقديمه [38:02] في الخمسينيات من قبل [38:04] رودولف كالمان. من [38:05] المثير للاهتمام أن [38:07] الورقة البحثية التي [38:08] قدمته لأول مرة تم [38:09] رفضها من قبل مجلة [38:10] كبرى في مجال التحكم. [38:13] كان هناك الكثير من [38:14] الجدل في ذلك الوقت [38:16] حول ما إذا كان تمثيل [38:17] الحالة للتحكم فكرة [38:19] جيدة أم لا. كانت [38:21] المشكلة الرئيسية في [38:23] ذلك الوقت هي التمثيل [38:24] الترددي لمشكلة [38:26] التحكم، إذا كنت على [38:27] دراية بنظرية التحكم. [38:29] أخيراً، نُشرت في مجلة [38:31] غير مشهورة، لكنها [38:33] بالطبع أصبحت لاحقاً [38:34] الخوارزمية المفضلة [38:36] للترشيح. مرة أخرى، [38:41] الشيء المهم الذي يجب [38:42] إدراكه هو أننا بمجرد [38:44] اعتبار التوزيعات [38:45] الغاوسية، فإننا [38:47] نلتزم بتمثيل أحادي [38:48] النمط لتوزيعات [38:49] الاعتقاد، أي بفرضية [38:51] واحدة. ولكن كما قلت، [38:53] في حالة النماذج [38:54] الخطية لانتقال [38:55] الحالة والقياسات، [38:57] هذا ليس تقريباً في [38:58] الواقع. هذا في الواقع [39:00] حساب دقيق. لذا، دعونا [39:05] نتوقف لثانية، سنثبت [39:07] في الدقائق القليلة [39:09] القادمة أن هذا صحيح [39:11] بالفعل. ولكن قبل [39:13] القيام بذلك، دعوني [39:14] أوضح النتيجة العملية. [39:16] النتيجة العملية هي [39:18] كما كانت من قبل. لقد [39:19] ناقشت مرشح "بيز"، وقلت [39:21] إن مرشح "بيز" يعتمد [39:23] على خطوتين، حساب [39:24] اعتقاد التنبؤ وحساب [39:26] الاعتقاد المصحح. يعمل [39:28] مرشح "بيز" بالبدء [39:30] باعتقاد في الوقت t [39:31] ناقص واحد، وباعتباره [39:36] مدخلاً إضافياً، نحصل [39:38] على التحكم الأخير u t [39:40] وآخر قياس تم الحصول [39:42] عليه z t. المخرجات هي [39:43] الاعتقاد في الوقت t. [39:47] بافتراض أن كل شيء خطي [39:49] كما قلت، فإن الاعتقاد [39:51] ، كما سنثبت، هو توزيع [39:53] غاوسي في كل الأوقات. [39:56] إذًا، يصبح مرشح بايز [39:58] خوارزمية تكرارية [39:59] لتحديث المتوسط [40:01] والتباين للاعتقاد [40:03] الغاوسي من خلال الأخذ [40:05] في الاعتبار، وبشكل [40:07] تكراري، أحدث تحكم [40:09] وأحدث قياس. وبشكل خاص [40:12] ، الطريقة التي يقوم [40:13] بها بذلك، وسأعطيكم [40:15] الآن لمحة بديهية. [40:16] سنقوم باشتقاق [40:17] المعادلات بعد قليل. [40:19] الطريقة التي يعمل بها [40:21] تشبه مرشح بايز. أليس [40:23] هو مجرد تطبيق لمرشح [40:24] بايز؟ في الخطوة [40:25] الأولى، نحسب اعتقاد [40:27] التنبؤ، لذا نأخذ في [40:28] الاعتبار أحدث تحكم [40:29] فقط. في الخطوة [40:30] الثانية، نأخذ في [40:32] الاعتبار أحدث قياس. [40:33] لنلقِ نظرة على الخطوة [40:35] الأولى. في الخطوة [40:36] الأولى، نقوم أولاً [40:38] بتحديث التوقع [40:39] باستخدام المعرفة حول [40:41] نموذج انتقال الحالة، [40:43] كما سنرى بوضوح أكبر. [40:47] ثم نقوم بتحديث [40:48] التباين حول المكان [40:50] الذي قد نكون فيه [40:52] باستخدام المعرفة، [40:54] مرة أخرى، حول نموذج [40:56] انتقال الحالة [40:57] المتمثل في المصفوفة A [40:59] ، وهي التي تضرب X. إذًا [41:04] ، هذا يزودنا بتوزيع [41:05] غاوسي يمثل الاعتقاد، [41:07] أو في الواقع اعتقاد [41:09] التنبؤ. الاعتقاد [41:11] المحدث بعد أن أخذنا [41:13] في الاعتبار أحدث تحكم [41:14] . الآن، نريد الأخذ في [41:16] الاعتبار أحدث قياس. [41:18] الطريقة للقيام بذلك [41:19] هي من خلال إدخال ما [41:21] يُعرف بمكسب كالمان، [41:23] الذي ينمذج جوهريًا [41:24] إلى أي مدى نريد [41:26] الاعتماد على [41:27] المعلومات المستمدة [41:28] من القياس مقابل [41:30] المعلومات القادمة من [41:31] نموذجنا. وبشكل خاص، [41:33] نُشكل المكسب [41:34] باستخدام هذه [41:36] المعادلة المعقدة. [41:38] حسنًا. ثم نقوم بتحديث [41:41] المتوسط وتباين [41:42] الاعتقاد على النحو [41:44] التالي. على النحو [41:45] التالي. إذًا، متوسط [41:47] الاعتقاد المصحح هو [41:49] متوسط الاعتقاد [41:50] المتنبأ به مضافًا [41:52] إليه تركيبة خطية من [41:54] القياس الذي حصلت عليه [41:56] والقياس الذي أعتقد [41:57] أنني كان يجب أن أحصل [41:59] عليه. تذكر أن النموذج [42:03] هو...ماذا؟ لديّ هنا. [42:08] نموذج القياس هو Zt = CtXt [42:11] + delta t. إذًا، ما هو [42:14] توقع القياسات التي... [42:25] وهذا يساوي صفرًا. [42:32] إذًا، CT mu bar T هو [42:34] القياس المتوقع فيما [42:36] يتعلق بتوصيف الحالة [42:38] كما هو موصوف بواسطة [42:40] اعتقاد التنبؤ. Mu bar T [42:44] هو متوسط اعتقاد [42:45] التنبؤ. إذًا، هذا هو [42:47] القياس الذي أتوقع [42:49] الحصول عليه بناءً على [42:51] معلوماتي الحالية عن [42:52] الحالة. ZT هو القياس [42:55] الحالي. KT هو المكسب. [42:58] إذا كان KT يساوي صفرًا [42:59] ، فهذا يعني أنني [43:00] أتجاهل المعلومات [43:02] المستمدة من القياس [43:03] جوهريًا وأثق فقط في [43:05] المعلومات التي [43:06] أستمدها من خلال [43:07] استغلال معرفة [43:08] النموذج. إذا كانت KT [43:11] كبيرة جداً، فهذا يعني [43:13] ببساطة أنني أتجاهل [43:14] المعلومات القادمة من [43:16] النموذج وأعتمد بشكل [43:18] أكبر على القياسات. [43:21] سنعود إلى هذا بعد [43:23] قليل. وأخيراً، لدي [43:25] قاعدة تحديث للتباين [43:26] أيضاً. إذن، من الواضح [43:28] أن مرشح كالمان هو [43:29] المكان الذي يحدث فيه [43:31] كل سحر مرشح كالمان [43:32] حقاً. إنه في الأساس [43:34] مكسب يوازن بين مدى [43:36] ثقتي في النموذج ومدى [43:37] ثقتي في قياساتي. على [43:39] وجه التحديد، لنلقِ [43:41] نظرة مرة أخرى على [43:42] مكسب كالمان. QT هو [43:45] تباين ضوضاء القياس. [43:48] إذن، هو تباين دلتا T. [43:52] لذا، افترض أنني هنا [43:54] أحاول فقط إعطائك [43:56] الحدس. افترض أن QT [43:58] كبيرة جداً، مما يعني [44:00] أن مستشعرك صاخب [44:01] للغاية. ببساطة، إنه [44:03] يعيد بيانات غير مفيدة [44:05] . هنا، أنا آخذ المعكوس [44:08] . إذن، إذا كانت QT [44:10] كبيرة جداً، ما الذي [44:13] تعتقد أنه سيحدث لـ KT؟ [44:15] فكر في الحالة أحادية [44:16] البعد حيث يصبح هذا في [44:18] الواقع عملية قسمة. [44:19] إذا كانت QT كبيرة جداً [44:21] ، ماذا يحدث؟ نحن نقسم [44:25] على رقم كبير جداً، [44:26] مما يعني أن KT رقم صغير [44:28] جداً. مما يعني ببساطة [44:31] أنه بمجرد تصحيح [44:32] اعتقادي من خلال [44:33] مراعاة القياس، فأنا [44:35] أتجاهل معلومات [44:37] القياس أساساً. لماذا؟ [44:39] لأنه إذا كنت أعلم أن [44:40] مستشعري في الوقت T [44:42] صاخب للغاية، فمن [44:43] الأفضل لي الاعتماد [44:44] على النموذج. وبالمثل، [44:48] افترض أن سيجما بار T، [44:50] وهي عدم اليقين في [44:52] اعتقاد التنبؤ، قريبة [44:54] جداً من الصفر. مما [44:59] يعني أنه من خلال [45:00] اعتقاد التنبؤ الخاص [45:02] بي، أنا متأكد جداً [45:03] بالفعل مما هي القيمة [45:05] الحقيقية لحالتي. ماذا [45:08] يحدث لمرشح كالمان إذا [45:09] كانت سيجما صغيرة جداً [45:11] ؟ مرة أخرى، سيجما [45:14] صغيرة جداً، ومرة أخرى [45:16] ، K صغيرة جداً أيضاً، [45:18] لأنها تقول ببساطة: " [45:20] حسناً، أنا أعرف [45:21] بالفعل أن الحالة هي [45:23] قيمة معينة باحتمالية [45:25] عالية جداً. لذا، [45:26] بدلاً من استخدام [45:28] معلومات من مستشعر [45:29] صاخب، دعنا نتجاهل [45:31] القياس ونحتفظ [45:32] بالمعلومات التي لدي [45:34] بالفعل." لذا، يمكنك أن [45:37] ترى كيف توازن K مرة [45:39] أخرى بين مدى ثقتي في [45:41] نموذجي من حيث تقدير [45:43] الكمية الأساسية محل [45:45] الاهتمام، أي الحالة، [45:47] ومدى ثقتي في قياساتي. [45:52] نعم. أوه، سنرى ذلك بعد [45:57] قليل. نعم، لذا أنا هنا [46:00] فقط أعطيك الحدس. ولكن [46:03] بالطبع، يجب على المرء [46:05] اشتقاقها. ليس من [46:06] الواضح تماماً من أين [46:08] يأتي هذا. نعم. [46:09] >> فقط، إذن Zt هي قياسك؟ [46:12] >> نوع من القياس. [46:14] >> نوع من القياس، لكنه [46:16] مسقط على فضاء حالتك، [46:19] أليس كذلك؟ [46:21] >> حسناً، يتم هذا [46:22] الإسقاط من خلال Ct. Ct [46:25] هي مصفوفة القياس التي [46:27] تحول الحالة إلى قياسك [46:29] مضافاً إليها بعض [46:31] الضجيج. وبشكل عام، لا [46:33] يشترط أن يكون لـ Zt نفس [46:35] أبعاد Xt. أجل. لكن، من [46:38] حيث المبدأ، يمكن أن [46:40] تكون Ct مساوية لمصفوفة [46:42] الوحدة، رغم أن ذلك [46:44] نادر جداً. أعني عادة، [46:46] على سبيل المثال، قد [46:48] تكون Zt هي النطاق، مثل [46:50] المسافة بين موقعك [46:52] وجسم ما. وقد تكون [46:54] الحالة هي X و Y واتجاهك [46:56] . إذن، من الواضح أن [47:01] هناك إسقاطاً من فضاء [47:03] حالتك إلى فضاء [47:04] القياسات. وسنرى هذا [47:08] بشكل أكثر وضوحاً [47:09] بمجرد تطبيق كل هذا [47:11] على مهمة التموضع. [47:13] وبشكل خاص، لجعل هذا [47:14] الأمر ملموساً [47:15] للتموضع، سنعتبر [47:17] مستشعر الليدار [47:18] كمستشعر، وهو [47:19] بالمناسبة ما [47:20] تستخدمونه في TurtleBot. [47:21] لذا، هنا، فقط لأعطيكم [47:23] الحدس، مجدداً، مرشح [47:25] بايز قد يبدو مخيفاً [47:26] قليلاً في البداية. [47:27] مرشح كالمان قد يبدو [47:29] أيضاً مخيفاً قليلاً [47:30] في البداية. لكن [47:31] حاولوا فقط التفكير في [47:32] الصورة الكبيرة. يتكون [47:34] مرشح بايز من خطوتين. [47:36] ويقوم مرشح كالمان [47:37] بالشيء نفسه. وما [47:38] نفعله في كل خطوة هو [47:40] أننا بما أننا نعلم أن [47:42] الاعتقاد غاوسي، [47:43] فعلينا نشر المتوسط [47:44] والتباين. في الخطوة [47:46] الأولى، نعتمد على [47:47] النموذج للقيام بهذا [47:49] النشر. في الخطوة [47:50] الثانية، نعتمد على [47:51] القياسات. الآن، [47:52] السؤال هو كيف نأخذ [47:54] القياسات في الاعتبار [47:55] بشكل صحيح؟ السحر يكمن [47:58] في مفهوم كسب كالمان [47:59] الذي يسمح بالموازنة [48:01] المثلى بين مدى ثقتك [48:02] في النموذج ومدى ثقتك [48:04] في القياسات. بشكل [48:07] أمثل، لأنه يمكن إثبات [48:09] أن مرشح كالمان هو [48:11] المرشح الأمثل من حيث [48:12] المرشحات التي تقلل [48:14] متوسط مربع الخطأ في [48:16] تقديرك. لن تروا ذلك في [48:19] هذا الفصل، لكنه مجرد [48:21] توضيح إضافي. حسناً، [48:23] إذاً كانت هناك بعض [48:27] الأسئلة حول من أين [48:28] تأتي هذه المعادلات؟ [48:32] الاستنتاج بسيط [48:33] ومباشر نوعاً ما. إنه [48:35] فقط ممل قليلاً. إذاً، [48:39] ما تفعله هو أخذ مرشح [48:41] بايز الذي أثبتناه [48:42] بدقة بالفعل ثم إدراج [48:44] الافتراضات الثلاثة [48:46] التي وضعناها. أي أن [48:49] التوزيع الأولي غاوسي [48:51] ، ونموذج انتقال [48:52] الحالة خطي، ونموذج [48:54] القياس خطي. وما تحصل [48:56] عليه كنتيجة هو هذه [48:57] المجموعة من [48:58] المعادلات. كيف؟ حسناً [49:00] ، لنبدأ أولاً بالتنبؤ [49:02] . تذكر من مرشح "بيز" أن [49:03] اعتقاد التنبؤ هو [49:05] تكامل بالنسبة لجميع [49:07] الحالات الممكنة في [49:08] الوقت t ناقص واحد التي [49:10] قد تصل بها إلى الحالة [49:12] xt، مرجحة باحتمالية [49:14] كونك في الحالة xt ناقص [49:16] واحد واحتمالية [49:17] الانتقال من الحالة xt [49:19] ناقص واحد إلى الحالة [49:21] xt إذا استخدمت التحكم [49:23] ut. لكن الآن لدينا [49:25] معلومات إضافية. لذا، [49:28] نريد إثبات أن [49:29] الاعتقاد في كل خطوة [49:31] هو بالفعل "غوسي" وأن [49:33] معاييره يتم تحديثها [49:34] وفقاً لهذه المعادلات [49:36] هنا. إذن، الإثبات [49:38] يكون بالاستقراء. [49:39] لنفترض أنه في مرحلة [49:41] ما من الخطوات، لدينا [49:43] تمثيل "غوسي" للاعتقاد. [49:46] لنرى ما إذا كان ذلك [49:47] يعني فعلياً أن [49:49] الاعتقاد عند الزمن t [49:50] هو أيضاً "غوسي". لنبدأ [49:53] باعتقاد التنبؤ. إذن، [49:57] نحن نفترض أنه في [49:58] الزمن t ناقص واحد، [50:00] يكون التنبؤ "غوسياً" [50:02] بمتوسط معين mu t ناقص [50:04] واحد وتباين معين sigma t [50:06] ناقص واحد. نحن نقوم [50:07] بالإثبات عن طريق [50:08] الاستقراء. أيضاً، نحن [50:13] نفترض أن النموذج [50:15] التوليدي الذي يصف [50:16] انتقال حالتنا يتبع [50:18] توزيعاً "غوسياً". كان [50:22] ذلك هو الافتراض رقم [50:24] واحد. نظراً لأن لدينا [50:26] نموذجاً خطياً [50:27] لمعادلة انتقال [50:29] الحالة، فإن النموذج [50:30] التوليدي هو بالفعل " [50:32] غوسي". هذا هو ما لدينا [50:36] لدينا هنا. النموذج [50:39] الخطي يتوافق مع ويعني [50:40] أن النموذج التوليدي [50:42] الاحتمالي هو "غوسي". [50:45] إذن، هذه هي خطوتنا [50:47] الاستقرائية. وهذا [50:49] يتبع الافتراض [50:50] المتعلق بنموذج [50:51] الانتقال الخطي. [50:52] الخاصية رقم ثلاثة [50:54] للتوزيعات "الغوسية" [50:55] هي أنه عند ضرب دوال [50:57] كثافة الاحتمال " [50:58] الغوسية"، فإن ما أحصل [51:00] عليه هو بالفعل دالة [51:02] كثافة احتمال "غوسية". [51:04] لذا، سيكون الإثبات [51:06] مملاً للغاية وسيتضمن [51:08] إظهار أنه من خلال [51:10] إكمال المربع، ما تحصل [51:12] عليه هو بالفعل توزيع " [51:14] غوسي" بهذا المتوسط [51:16] وهذا التباين. الآن، [51:20] هناك طريق أكثر مباشرة [51:22] لرؤية أن اعتقاد [51:24] التنبؤ لديه توقع [51:26] وتباين محدثين وفقاً [51:27] لهذه المعادلات. [51:30] الأسباب هي كما يلي. [51:31] لذا، ستكون هذه هي [51:33] الطريقة الرسمية [51:34] للقيام بذلك باستخدام [51:35] نفس صياغة مرشح "بيز". [51:36] لذا، ما ستفعله بمجرد [51:38] ضرب هذه الدوال الأسية [51:39] ، هو إكمال المربع. [51:41] إنها تشبه صفحتين من [51:42] الحسابات الجبرية [51:43] المملة جداً، ثم تحصل [51:45] على النتيجة. ليست [51:46] مفيدة جداً للفهم. إذا [51:48] كنت لا تصدقني، اقرأ [51:49] تلك الأقسام. أنا كسول [51:51] جداً للقيام بكل تلك [51:52] الخطوات. إنها ليست [51:54] مفيدة بشكل خاص. لكن، [51:56] هناك طريقة أكثر [51:57] مباشرة للقيام بذلك. [51:59] لذا، مرة أخرى، [52:00] الافتراض هو أن نموذج [52:02] الانتقال خطي. إذن، [52:07] إذا كنت أعرف توزيع XT-1 [52:10] ، الذي نفترض أنه [52:11] غاوسي، وأعرف توزيع [52:14] إبسيلون T، الذي نفترض [52:16] أنه غاوسي أيضاً، فإن [52:18] ما لدي هو أن XT هو [52:20] مجموع متغيرين [52:22] عشوائيين مستقلين. XT-1 [52:25] و BTUT + إبسيلون T. و BT [52:27] مجرد ثابت، لذا فهذا [52:29] المتغير العشوائي هو [52:31] تحويل خطي لإبسيلون T، [52:33] حيث قمت بإضافة ثابت [52:35] فقط. إذن، ما هي نتيجة [52:38] مجموع متغيرين [52:39] عشوائيين مستقلين؟ [52:43] إنه توزيع غاوسي. لا [52:46] يزال متغيراً [52:47] عشوائياً غاوسياً، [52:49] حيث أقوم بجمع [52:50] التوقعات وجمع [52:51] مصفوفات التغاير. [52:54] وبشكل خاص، فإن توقع [52:56] هذا المصطلح هو AT mu T-1، [52:59] وهو هنا. توقع هذا [53:01] المصطلح هو...حسناً، [53:03] هذا ثابت، وتوقع [53:04] الثابت هو الثابت نفسه [53:06] ، لذا BTUT + 0. لأننا [53:08] نفترض أن إبسيلون ذات [53:09] متوسط صفري، وهو ما [53:11] نراه هنا. المعادلة [53:12] الأولى في الخطوة [53:13] الأولى من مرشح كالمان [53:15] . ماذا عن مصفوفات [53:16] التغاير؟ حسناً، هذا [53:19] تحويل خطي لمتغير [53:20] عشوائي غاوسي، لذا فإن [53:22] التغاير الخاص به [53:24] يُعطى بواسطة A منقول، [53:26] وتغاير ذلك المتغير [53:28] العشوائي الغاوسي... [53:30] عذراً، AT AT AT، تغاير [53:32] ذلك المتغير العشوائي [53:34] AT منقول، زائد تغاير [53:36] المتغير العشوائي [53:37] الثاني. إذن، هذا هو [53:40] تحويل خطي لإبسيلون [53:41] زائد ثابت. الثابت لا [53:43] يظهر في التغاير. لذا، [53:45] ما لدي ببساطة هو [53:47] تغاير إبسيلون. إذاً، [53:52] ترى أن ما حصلنا عليه [53:54] هو بالضبط المعادلتان [53:56] الأوليان لمرشح [53:57] كالمان. وكما قلت، [53:59] رسمياً ما يجب علي [54:00] فعله لأكون متسقاً مع [54:02] كل الرموز والإطار [54:04] الذي شرحته حتى الآن، [54:06] هو أن آخذ هذه النواتج [54:07] ، وأكمل المربع، وأجد [54:09] الناتج، لكن التفكير [54:11] بهذه المصطلحات أسهل [54:13] بكثير. الآن، شيء لم [54:16] أقله صراحة، لكنني [54:17] أريد التأكد من أنه [54:19] واضح تماماً، هو أننا [54:21] نفترض أن ضجيج العملية [54:23] وضجيج الاستشعار ليسا [54:25] غاوسيين فحسب، بل [54:26] إنهما مستقلان عن [54:28] الحالة. عذراً، لم [54:31] أذكر هذا الافتراض، [54:33] لكنه افتراض حاسم، [54:35] وإلا، على سبيل المثال [54:37] ، لن تنجح هذه الخطوة. [54:41] هل هذا واضح؟ إذن، [54:44] الآن ومن خلال هذا [54:46] المنظور، تصبح هاتان [54:48] المعادلتان واضحتين [54:49] تماماً. ببساطة، أنا [54:51] أقوم بنشر عدم اليقين [54:53] الخاص بي حول الحالة [54:54] إلى الأمام، مع مراعاة [54:56] التحكم، من خلال تطبيق [54:58] المعرفة حول معادلات [54:59] انتقال الحالة بطريقة [55:01] مباشرة. الخطوة [55:06] الثانية هي خطوة [55:07] التوافق. مرة أخرى، [55:09] بالعودة إلى مرشح بايز [55:11] ، الرابط بين اعتقاد [55:15] التنبؤ والاعتقاد [55:16] اللاحق هو من خلال [55:17] النموذج التوليدي [55:19] للقياس. إذًا، احتمال [55:21] Zt بمعلومية Xt. تذكر أن [55:24] إيتا هي عامل تطبيع، [55:25] مما يعني أنها رقم لا [55:27] يعتمد على Xt. لقد [55:29] أوضحنا بالفعل أنه في [55:31] ظل جميع الافتراضات [55:33] التي وضعناها، فإن [55:35] اعتقاد التنبؤ هو [55:36] توزيع غاوسي بتوقع mu bar [55:39] t، وتباين sigma bar t. الآن [55:45] ، نفترض أيضًا أن هذا [55:46] هو الافتراض رقم اثنين [55:48] . أن نموذج القياس خطي. [55:53] وهو ما يعني، كما [55:54] رأينا من قبل، أن [55:56] النموذج التوليدي [55:57] للقياس هو أيضًا غاوسي [55:59] . على وجه الخصوص [56:01] بمتوسط c x t، وهنا يوجد [56:03] خطأ مطبعي بسيط، يجب [56:05] أن يكون c t من x t لأننا [56:07] نفترض أيضًا أن c t [56:08] متغير زمنياً. q t الآن، [56:14] استفد مجددًا من [56:15] الخاصية رقم ثلاثة [56:17] للتوزيعات الغاوسية. [56:18] إذًا، إذا قمت بضرب [56:20] التوزيعات الغاوسية، [56:21] فما نحصل عليه لا يزال [56:23] توزيعاً غاوسياً. من [56:25] خلال إكمال المربعات [56:27] والقيام بصفحتين [56:29] أخريين من الحسابات [56:31] الجبرية المملة [56:32] للغاية، ستجد أن [56:35] التوزيع الذي ينتج عن [56:37] ضرب هذين التوزيعين [56:39] الغاوسيين هو لا يزال [56:41] توزيعاً غاوسياً [56:42] بمعاملات mu t و sigma t [56:44] المعطاة بهذه [56:45] المعادلات. هذا في [56:47] الواقع يتبع أساساً من [56:49] إكمال المربع هنا. ممل [56:52] للغاية. مرة أخرى، لقد [56:55] أعطيتكم قراءة للقيام [56:57] بها. الآن. هنا للأسف، [57:00] لم يكن لدي رابط مباشر [57:03] ، لا توجد طريقة سهلة [57:05] حقاً، وأعني بذلك سطر [57:07] أو سطرين، للانتقال من [57:09] هذه الحسابات إلى تلك [57:11] الحسابات. دعونا [57:13] نتقبلها كحقيقة. توجد [57:15] طرق متعددة لاشتقاق [57:17] مرشح كالمان. هذا [57:19] الاشتقاق الذي نستفيد [57:21] فيه من مفهوم مرشح [57:23] بايز ثم نحقن فيه [57:24] افتراضات مرشح كالمان [57:26] هو ربما الأكثر أساسية [57:28] ، لكن توجد طرق أخرى [57:30] كثيرة. طريقة أخرى هي [57:32] التفكير مباشرة في [57:33] معالجة المتغيرات [57:34] العشوائية الغاوسية. [57:35] هذه هي الطريقة الأكثر [57:37] شيوعاً. ليست مثيرة [57:38] للاهتمام بشكل خاص. [57:40] الأكثر إثارة [57:41] للاهتمام هي الطريقة [57:42] التي قدمها رودولف [57:43] كالمان في ورقته [57:44] البحثية الأصلية. لذا، [57:46] أشجعكم على قراءة [57:47] ورقته البحثية [57:48] الأصلية. واضحة للغاية [57:51] . الطريقة التي اشتقها [57:52] بها كانت في سياق [57:54] نظرية التقدير الأمثل. [57:56] لذا، تضع دالة تكلفة، [57:58] وهي متوسط مربع الخطأ، [58:00] ثم تحاول إيجاد المقدر [58:02] الذي يحسن متوسط مربع [58:04] الخطأ باستخدام نظرية [58:06] الإسقاط. أنيقة جداً، [58:08] وبخطوات قليلة جداً. [58:09] لسوء الحظ، هي بعيدة [58:11] نوعاً ما عن شكلية [58:12] مرشح بايز، لذا أفضل [58:13] عدم استخدام ذلك [58:14] الاشتقاق، لكنني [58:15] أشجعكم على قراءة هذه [58:17] الورقة. كما كتبت حول [58:18] هذا الموضوع، يُعد [58:19] مرشح كالمان أحد أكثر [58:20] الأدوات فائدة. لذا، [58:22] كلما زاد فهمك له، كان [58:24] ذلك أفضل. لاحظ أن " [58:25] مجلة الهندسة [58:26] الأساسية" هذه، لا [58:27] أعرف حتى إن كانت لا [58:28] تزال موجودة. إنها [58:29] ليست مجلة مشهورة جداً [58:30] . كانت المجلة الوحيدة [58:31] التي تمكن من نشر هذا [58:33] العمل فيها. لذا، إذا [58:34] كان لديك بحث رُفض عدة [58:35] مرات، فلا تقلق، فأنت [58:37] في صحبة جيدة. أليس [58:38] كذلك؟ هذه هي الفائدة [58:40] الرئيسية. إذن، هل [58:42] هناك أي أسئلة؟ جيد. [58:46] حسناً. هناك ملاحظة [58:48] واحدة يجب وضعها في [58:49] الاعتبار. الملاحظة هي [58:51] أننا استنتجنا مرشح [58:52] كالمان بافتراض أن [58:54] نموذج انتقال الحالة [58:55] خطي. وبافتراض أن [58:58] نموذج القياس خطي [58:59] أيضاً. لذا، في ظل هذا [59:01] الافتراض، فإن حقيقة [59:03] أن توزيع الاعتقاد هو [59:05] توزيع غاوسي ليست مجرد [59:07] افتراض، بل هي حقيقة [59:09] مؤكدة. تصويرياً، ما [59:12] كنا نقوم به هو القول [59:14] بأنه بافتراض خطية [59:16] نموذج انتقال الحالة، [59:18] فإننا نقوم ببساطة [59:19] بتمرير التوزيعات [59:21] الغاوسية عبر تحويل [59:22] خطي يحافظ على طبيعتها [59:24] الغاوسية. لدينا توزيع [59:26] غاوسي كمدخل، ونقوم [59:28] بتحويل هذا المتغير [59:29] العشوائي الموزع [59:30] غاوسياً من خلال تحويل [59:32] خطي. ما أحصل عليه [59:34] كمخرج لا يزال توزيعاً [59:36] غاوسياً بمتوسط يساوي [59:38] (a*mu + b)، حيث a و b هما [59:39] معادلة هذا الخط، [59:41] وتباين يساوي (a ^ 2*sigma ^ [59:43] 2). هذه هي الخاصية [59:44] الأولى للتوزيعات [59:45] الغاوسية من الناحية [59:47] التصويرية. وهذا ما [59:48] استغليناه بشكل كبير [59:50] في مرشح كالمان. [59:51] المشكلة الآن هي أن [59:53] معظم نماذج الروبوتات [59:54] ، كما رأينا سابقاً في [59:56] هذا الدرس، ليست خطية. [59:58] على سبيل المثال، [59:59] بالنسبة لنموذج [60:00] الدورة، لديك جيب تمام [60:02] ثيتا وجيب ثيتا، وهكذا [60:04] . لذا، بالمعنى الدقيق [60:06] للكلمة، لا يمكنك [60:07] تطبيق مرشح كالمان. [60:08] فما الذي تفعله إذن؟ [60:11] حسناً، الفكرة الآن هي [60:13] إدخال تقريب. إذا كان [60:15] لديك نموذج غير خطي [60:16] لمعادلة انتقال [60:18] الحالة أو لمعادلة [60:20] القياس، للأسف، لم يعد [60:22] صحيحاً أن توزيع [60:23] الاعتقاد هو توزيع [60:25] غاوسي. لذا، ما تفعله [60:28] هو إدخال تقريب والقول [60:30] : "حسناً، لنتظاهر بأنه [60:32] توزيع غاوسي، ومع هذا [60:34] التقريب، لنرى كيف [60:35] يمكننا اشتقاق مرشح قد [60:37] يعمل عملياً بطريقة [60:39] جيدة بما يكفي". وعلى [60:41] وجه التحديد، ما نوع [60:43] التقريب الذي نقوم به؟ [60:46] التقريب الذي نقوم به [60:48] هو كالتالي. لنفترض أن [60:51] لدينا متغيراً [60:52] عشوائياً موزعاً [60:53] وفقاً لتوزيع طبيعي، [60:55] أي أنه غاوسي. لكن الآن [60:57] ، التحويل الذي نجبر [60:59] هذا التوزيع الغاوسي [61:00] على المرور به هو [61:01] تحويل غير خطي. لذا، ما [61:03] نحصل عليه كمخرج بشكل [61:05] عام هو شيء لا يشبه [61:06] التوزيع الغاوسي على [61:07] الإطلاق. على سبيل [61:09] المثال، هنا كان لدينا [61:10] ذروتان. لذا، ما نقوم [61:12] به هو تقريب ما نحصل [61:14] عليه بتوزيع غاوسي [61:16] بطريقة ما. السؤال هو [61:18] كيف نفعل ذلك؟ حسناً، [61:21] الفكرة، ودعوني في [61:22] الواقع أوضحها بالرسم [61:24] هنا. الفكرة، وسنقوم [61:25] بها رياضياً بعد لحظة، [61:27] هي استخدام مفهوم [61:28] التخطي (الخَطِّيَّة). [61:30] فكرة أن كل دالة [61:31] محلياً، حسناً، [61:33] تقريباً كل دالة تبدو [61:35] محلياً كخط مستقيم. [61:37] إذن، ما نقوم به هو [61:39] تقريب هذا التحويل غير [61:41] الخطي بتحويل خطي. ثم [61:44] نمرر التوزيع الغاوسي [61:45] ، على سبيل المثال، [61:47] التوزيع الأولي، عبر [61:48] هذا التقريب الخطي. [61:50] لذا، ما نحصل عليه [61:51] كمخرج هو توزيع غاوسي، [61:53] لأننا عندما نمرر [61:54] توزيعاً غاوسياً عبر [61:55] تحويل خطي، نحصل على [61:57] توزيع غاوسي. سيكون [61:58] ذلك تقريباً للاعتقاد [62:00] الأساسي الحقيقي. ما [62:01] مدى جودته؟ سنناقش ذلك [62:04] بعد لحظة. إذن، [62:05] رياضياً، ماذا نفعل؟ [62:08] لدينا هذا التحويل g من [62:15] x t و u t والذي هو غير [62:18] خطي. وبالتالي يدمر [62:20] الخاصية التي تجعلنا [62:22] عندما نمرر متغيراً [62:23] عشوائياً غاوسياً [62:25] عبره، لا يكون الناتج [62:26] توزيعاً غاوسياً. إذن، [62:29] ما نقوم به هو النظر [62:31] إلى هذا التحويل غير [62:32] الخطي، ونقربه بتحويل [62:35] خطي باستخدام مفهوم [62:36] التخطي. التخطي، كما [62:39] أنتم على دراية به [62:41] بالفعل لأن حساب [62:43] التفاضل والتكامل [62:45] متطلب سابق، يقول إن [62:47] الدالة القابلة [62:48] للاشتقاق f يمكن [62:50] تقريبها بـ f عند x bar [62:52] زائد مشتقة f بالنسبة [62:54] إلى x مقيمة عند x bar [62:56] مضروبة في x ناقص x bar. [63:00] حيث x bar هي نقطة التخطي [63:04] . إذن، إذا كان لدي [63:14] دالة f لـ x غير خطية، [63:16] يمكنني تقريبها كدالة [63:19] خطية بدلالة x ناقص x bar. [63:21] سيكون هذا هو ميل الخط [63:23] ، وهذا سيكون الحد [63:25] الثابت لخطك. هل [63:27] الجميع يفهم هذا؟ جيد. [63:31] إذن، ما نفعله هو [63:32] الشيء نفسه هنا. [63:34] السؤال الوحيد هو حول [63:36] أي نقطة نقوم بتخطي [63:37] الدالة؟ أي بعبارة [63:41] أخرى، أي نقطة نختارها [63:43] كـ x bar التي نقوم حولها [63:46] بعملية التخطي؟ من [63:51] الناحية المفاهيمية، [63:52] نريد الحصول على تقريب [63:54] جيد قدر الإمكان في [63:56] المنطقة التي يتمركز [63:58] فيها معظم كتلة [63:59] الاحتمالية. وهذا يعني [64:03] أنه يبدو من الطبيعي [64:04] استخدام متوسط [64:06] المتغير العشوائي [64:07] الذي تريد تمريره عبر [64:09] ذلك التحويل غير الخطي [64:11] كنقطة تخطي. إذن، هذا [64:13] بالضبط ما يعنيه مرشح [64:15] كالمان الممتد، أننا [64:16] نأخذ في الاعتبار [64:17] لاخطية معادلة [64:19] الانتقال. ما يفعله [64:21] مرشح كالمان الممتد هو [64:23] أننا نقوم بالتوسع في [64:25] متسلسلة تايلور حتى [64:26] الرتبة الأولى للحد [64:28] غير الخطي حول المتوسط [64:30] . قد يبدو هذا معقداً، [64:35] لكنها نفس المعادلة [64:36] تماماً. حيث تكون x [64:38] شرطة هي mu t ناقص واحد [64:40] هنا. نحن نقوم بالتوسع [64:42] حول المتوسط. J هو [64:43] مصفوفة جاكوبي. نحن [64:45] نأخذ مشتقات الدالة g [64:47] بالنسبة إلى x، ثم x [64:49] ناقص mu ستكون x ناقص x [64:52] شرطة هناك. لذا، هذا [64:54] تبسيط خطي مباشر حقاً. [64:56] لا يوجد سحر هنا. ما [64:58] الذي نحصل عليه من ذلك [65:00] ؟ حسناً، الآن معادلة [65:02] التحديث x لـ t تساوي [65:09] ويمكن كتابتها كـ g u t mu [65:12] t ناقص واحد زائد uh GT I [65:18] أكتب مصفوفة جاكوبي، [65:21] أعرف جاكوبي كـ GT XT [65:22] ناقص واحد ناقص mu T [65:26] ناقص واحد. زائد uh [65:31] اضطراب العملية. إذن، [65:33] زائد epsilon T. حسناً. [65:38] بافتراض أن XT ناقص [65:40] واحد يتبع توزيعاً [65:41] غاوسياً أو أن توزيع XT [65:44] ناقص واحد يتم تقريبه [65:46] كتوزيع غاوسي، فنحن [65:48] نفترض أن epsilon T هي [65:49] أيضاً غاوسية. إذن، ما [65:52] هو توزيع X لـ t؟ هو [65:55] أيضاً غاوسي. أساساً، [65:56] باستخدام التبسيط [65:58] الخطي نعود تماماً إلى [66:00] نفس الإعداد الذي كان [66:01] لدينا من قبل. الفرق هو [66:03] أننا كنا نفترض سابقاً [66:04] أن نموذج انتقال [66:06] الحالة كان خطياً. [66:07] الآن نحن نقدم تقريباً [66:09] يجعل نموذج الانتقال [66:10] يبدو كما لو كان خطياً. [66:14] لذا، يجب علينا القيام [66:16] بنفس الشيء أيضاً [66:17] لنموذج القياس حيث [66:19] يكون التبسيط الخطي [66:21] مرة أخرى بالنسبة [66:22] لمتوسط توزيع XT ناقص [66:24] واحد. بمجرد القيام [66:28] بذلك، يصبح لدينا [66:30] نموذج انتقال حالة خطي [66:32] ونموذج قياس خطي. إذن، [66:34] تنطبق هنا نفس [66:35] المعادلات التي [66:36] اشتققناها لمرشح [66:37] كالمان. وعلى وجه [66:39] الخصوص، عندما أنظر [66:40] إلى مرشح كالمان [66:41] الممتد، تكون [66:42] المعادلات متطابقة [66:44] تماماً. الفرق الوحيد [66:48] هو أنه بدلاً من [66:49] مصفوفتي A أو C اللتين [66:51] كانتا لدينا سابقاً [66:53] بافتراض نموذج انتقال [66:55] خطي، أنظر إلى مصفوفتي [66:57] A و C المكافئتين لـ [67:02] النظام المبسط خطياً. [67:04] على وجه الخصوص، [67:05] بالنظر إلى نموذج [67:06] انتقال الحالة، ما هي [67:08] المصفوفة التي تحل محل [67:10] AT؟ تذكر أنه في مرشح [67:17] كالمان، كان النموذج [67:19] هو XT = AT XT + BT UT + epsilon T. [67:22] ما هي المصفوفة التي [67:24] تحل محل AT؟ G، صحيح. [67:30] وهذا هو ما لدينا هنا. [67:32] سابقاً كان لديك A [67:33] سيجما A منقولة، الآن [67:35] لديك G سيجما G منقولة. [67:37] ما هي المصفوفة التي [67:39] تأخذ، حسنًا، هذا هو [67:41] التخطيط الخطي لنموذج [67:43] القياس. لذا، لدينا H، [67:53] إذن ZT تُقرب كـ H mu bar T + [67:55] HT، والتي ستكون مصفوفة [67:58] جاكوبي. إيه مضروبة في [68:04] XT ناقص mu bar T + delta T. إذن [68:08] ، ما هي المصفوفة التي [68:11] تحل محل CT؟ إسقاط [68:14] الحالة في القياس. [68:18] أعني، إنها في الحقيقة [68:19] مطابقة للأنماط. عليك [68:21] أن تنظر إلى ما يضرب X. H [68:27] ، أليس كذلك؟ إذن، [68:30] بدلاً من وجود C، هنا [68:32] لديك فقط H. ونعم، في [68:36] الأساس مرشح كالمان، [68:38] أعني، معادلات مرشح [68:40] كالمان الممتد هي نفس [68:42] معادلات مرشح كالمان، [68:44] حيث استبدلت نموذج [68:46] الانتقال غير الخطي [68:48] ونموذج القياس غير [68:50] الخطي بنسخ خطية. [68:51] بمجرد القيام بذلك، [68:53] تصبح كل الرياضيات [68:55] الأخرى متطابقة [68:56] تماماً. وهذا سيكون [68:59] مرشح كالمان الممتد. [69:01] إذن، ماذا تفعل لتنفيذ [69:03] مرشح كالمان الممتد؟ [69:05] تأخذ نموذجك غير الخطي [69:07] ، وتقوم بوضعه في صيغة [69:09] خطية، ثم تضع مصفوفات [69:11] جاكوبي في معادلات [69:12] مرشح كالمان. هل هناك [69:17] أي أسئلة حول هذا؟ هنا [69:19] النقطة التي أحاول [69:20] إيصالها هي أن مرشح [69:22] كالمان الممتد مشابه [69:23] جداً لمرشح كالمان [69:25] بمجرد أن تدرك أنه عند [69:26] خطيّة المعادلات، [69:28] فأنت مجدداً في إعداد [69:29] الانتقال الخطي، لذا [69:31] يظل كل شيء آخر كما هو. [69:33] الفرق الرئيسي هو أن [69:34] هذا الآن تقريب، لذا [69:36] لا توجد ضمانات بعد [69:37] الآن بأن هذا سيعمل. من [69:39] الناحية العملية، [69:41] فإنه يعمل بشكل جيد. [69:43] طالما أنك تبقى قريباً [69:45] من نقطة التشغيل. [69:47] لماذا؟ كيف يمكن لمرشح [69:49] كالمان الممتد (EKF) أن [69:50] يفشل. لنلقِ نظرة مرة [69:52] أخرى على ما يفعله [69:53] مرشح كالمان الممتد. [69:55] لدينا متغير عشوائي [69:57] غاوسي توزيعه غاوسي أو [69:59] تم تقريبه كغاوسي. [70:01] وأردت تمريره عبر [70:03] تحويل غير خطي، والذي [70:04] سيكون معادلة الحركة [70:06] غير الخطية لمركبتي. [70:08] إذا قمت بذلك بدقة، [70:10] سأحصل على هذا الشيء [70:11] الفظيع، الذي يصعب [70:13] حسابه. ولكن إذا قمت [70:16] بعمل خطي، فإنني أحصل [70:18] كناتج على هذا الغاوسي [70:19] الأحمر المشابه جداً [70:21] لهذا الغاوسي الأزرق [70:23] الذي سيكون الغاوسي [70:24] الذي يحاول مطابقة [70:26] التوزيع الأساسي [70:27] الحقيقي قدر الإمكان [70:29] عن طريق مطابقة [70:30] المتوسط والانحراف [70:32] المعياري. إذن، هذه [70:35] حالة يعمل فيها مرشح [70:37] كالمان الممتد بشكل [70:38] جيد في الواقع. كيف [70:40] يمكن لمرشح كالمان [70:41] الممتد أن يفشل؟ حسناً [70:43] ، يمكن أن يفشل [70:44] بطريقتين. أولاً، إذا [70:47] كان التوزيع عريضاً [70:49] جداً، أي أن لدي [70:50] الكثير من كتلة [70:52] الاحتمالية هنا وهناك [70:53] ، فهذا يعني أن الخطية [70:55] التي تكون جيدة بشكل [70:57] عام عندما تكون قريباً [70:59] من نقطة التخطي تصبح [71:01] تقريبية جداً عندما [71:02] يكون لديك الكثير من [71:04] الكتلة. وهذا يعني [71:06] ببساطة أنك تُدخل خطأً [71:07] أكبر بكثير. أو [71:09] الطريقة الأخرى التي [71:10] يمكن أن تفشل بها هي [71:11] إذا كان لديك دالة غير [71:13] خطية بشكل كبير، فإن [71:14] التخطي لا يكون دقيقاً [71:16] حتى عندما تكون قريباً [71:18] من نقطة التخطي الخاصة [71:19] بك. دعونا نرى بشكل [71:21] أفضل قليلاً ما يحدث. [71:22] لذا دعونا ننظر في نفس [71:24] الدالة غير الخطية مع [71:26] نفس التخطي، ولكن الآن [71:28] أصبح للتوزيع أطراف [71:30] أثقل. بمعنى عدم يقين [71:32] أعلى. الآن، لنقارن [71:35] المنحنى الأزرق الذي [71:37] يتوافق مع أفضل توزيع [71:39] غاوسي ممكن يمكنك [71:40] ملاءمته مع التوزيع [71:42] الأساسي الحقيقي. مرة [71:44] أخرى، أفضل توزيع [71:46] غاوسي ممكن يعني أننا [71:47] نطابق المتوسط [71:48] والانحراف المعياري [71:50] مع التوزيع الغاوسي [71:51] الذي تحصل عليه بتمرير [71:53] هذا الغاوسي عبر [71:54] التخطي. الآن ترى أن [71:56] هناك فرقاً كبيراً [71:57] واختلافاً جوهرياً في [71:59] المتوسط. هنا كانا [72:00] أقرب، ولكن هنا هما [72:02] متباعدان جداً. لماذا؟ [72:04] لأننا الآن نمرر كتلة [72:06] كبيرة من توزيعنا [72:08] الاحتمالي عبر نموذج [72:10] خطي غير دقيق للغاية [72:12] بشكل عام. بالطبع، هذا [72:15] فقط لأعطيك الحدس حول [72:17] الأمر. من ناحية أخرى، [72:21] إذا كان توزيعك [72:23] الغاوسي له تباين صغير [72:25] جداً فهذا يعني أنك [72:28] تدفع معظم كتلة [72:29] الاحتمالية حول [72:30] النقطة التي قمت [72:31] بالتخطي من خلالها، [72:33] ويكون التخطي الخاص بك [72:34] جيداً جداً. وما تحصل [72:36] عليه كنتيجة هو شيء [72:37] يتطابق بشكل جيد جداً [72:39] ليس فقط مع أفضل تقريب [72:40] غاوسي ممكن، بل في [72:42] الواقع مع التقريب [72:43] الأساسي الحقيقي. لذا [72:47] إذا كان مرشح كالمان [72:48] الممتد الخاص بك لا [72:50] يعمل، فهذا يعني...أعني [72:51] على الأرجح أن لديك [72:52] أخطاء برمجية. ولكن، [72:54] هناك أربعة أمور. لديك [72:56] أخطاء برمجية. لديك [72:58] دالة غير خطية بشكل [72:59] فظيع. لذا، عليك أن [73:01] تبدأ في التفكير في [73:02] مرشح مختلف. عدم [73:03] اليقين لديك كبير جداً [73:05] . لذا، ربما يجب أن [73:07] تبدأ في التفكير في [73:08] شراء مستشعرات أفضل. [73:10] والرابع، وهو شائع [73:12] جداً في الواقع، هو [73:14] أننا في تنفيذ مرشح [73:16] كالمان نفترض أننا [73:18] نعرف RT و QT. RT هو ضجيج [73:20] العملية. QT هو ضجيج [73:22] القياس. ولكن بشكل عام [73:24] ، من أين نحصل على هذه [73:26] الأرقام؟ من يخبرك ما [73:28] هو اضطراب العملية من [73:29] المستشعر؟ الأمر صعب. [73:32] أنت تستخدم المعايرة، [73:34] بالطبع. أنت تقوم [73:36] بالكثير من القياسات [73:37] وما إلى ذلك من أجل [73:39] معايرة هذه الأرقام. [73:42] ولكن غالباً ما يكون [73:44] اختيار الأرقام [73:45] الصحيحة للضجيج نوعاً [73:47] من الفن. لدرجة أن هذه [73:51] تصبح تقريبًا [73:52] كمعاملات ضبط. ما هو [73:53] مزعج للغاية بشأن مرشح [73:55] كالمان، على سبيل [73:57] المثال، كنت أعمل على [73:58] مرشح كالمان لتحديد [74:00] اتجاه قمر صناعي، هو [74:03] أنه لا يميل للعمل [74:05] بسلاسة. إنه لا يعمل، [74:08] ثم فجأة يعمل. لذا، [74:10] تقضي أيامًا في محاولة [74:12] إصلاح هذا الشيء حتى [74:13] يعمل. في النهاية، إنه [74:15] يعمل. لكن جعله يعمل في [74:17] بعض الأحيان قد يكون [74:18] مزعجًا للغاية. كما [74:19] قلت، الروبوتات تسبب [74:21] الكثير من الإحباط. [74:22] إذا لم تكن مستعدًا [74:24] للإحباط، ففكر في شيء [74:26] آخر. عذرًا. رائع. نعم، [74:31] كان هناك سؤال؟ حسنًا، [74:39] أعني، نعم، يمكنك ذلك. [74:42] المشكلة هي أنه في [74:43] الحلقة المغلقة، [74:44] بمجرد البدء في نشر [74:46] الروبوت الخاص بك، ما [74:47] هي الضمانات التي [74:49] يمكنك تقديمها؟ من [74:50] الصعب جدًا القول بسبب [74:52] عدم اليقين بشأن [74:54] اعتقادك. يعتمد الأمر [74:55] على الكثير من الأشياء [74:57] التي لا تتحكم فيها. [74:58] ربما يكون هناك أحد [74:59] المشاة يقوم بشيء غير [75:01] منتظم يفسد عملك. لذا، [75:03] نعم، يمكنك ذلك. وربما [75:05] يمكنك الحصول على [75:07] شاشات تقول: "حسنًا، في [75:08] هذه المرحلة، لا يمكن [75:10] لـ EKF تتبع موقعك حقًا [75:12] لأنك في نظام غير خطي، [75:13] وعليك القيام بشيء آخر [75:15] ". نعم، بالتأكيد. من [75:17] الصعب القيام بذلك. [75:18] لكن، نعم. وقد تمت [75:20] دراسة EKF على نطاق واسع [75:22] في مجال الروبوتات، [75:23] لذا لديك الكثير من [75:24] الاختلافات. بعضها [75:25] سيزيد من مستوى [75:27] المتانة. حسنًا. دعوني [75:29] أختتم محاضرة اليوم [75:30] بالقول إن مرشح كالمان [75:32] الممتد ليس الطريقة [75:33] الوحيدة للقيام [75:35] بتقريب لمرشح كالمان [75:36] في الإعدادات غير [75:37] الخطية. طريقة أخرى [75:39] شائعة هي ما يسمى [75:40] بمرشح كالمان غير [75:42] المعطر، والذي يمكنك [75:43] اعتباره النظير لـ EKF. [75:45] ما تفعله في EKF هو خطية [75:47] التحويل، ثم تمرير [75:48] التوزيع الغاوسي من [75:50] خلاله. ما تفعله في UKF [75:53] هو في الواقع تقريب [75:54] التوزيع الغاوسي الذي [75:56] لديك كمدخل من خلال [75:58] جسيمات، ثم تمرير تلك [76:00] الجسيمات عبر التحويل [76:02] غير الخطي. لذا، [76:03] بطريقة ما، إنه مجرد [76:05] النظير. ما تفعله هو [76:06] حساب الجسيمات، التي [76:08] يشار إليها بنقاط [76:09] سيجما، وعادة ما يتم [76:10] توزيعها بشكل متماثل [76:12] بالنسبة لدالة [76:13] التغاير الخاصة بك. [76:14] أنت تقوم بتحويلها من [76:16] خلال معادلة الحالة [76:17] غير الخطية، ثم، كمخرج [76:19] ، بمجرد الحصول على [76:20] هذه الجسيمات، تحاول [76:21] ملاءمة توزيع غاوسي [76:23] يناسب تلك الجسيمات [76:24] بشكل أفضل. لذا، في [76:26] الأساس، إنها تقنية [76:27] انحدار إحصائي. لن [76:28] ندخل في تفاصيل UKF. [76:30] أردت فقط أن أذكركم [76:32] بوجوده. إنه يميل إلى [76:33] أن يكون أكثر قوة. إنه [76:35] يميل فقط إلى أن يكون [76:36] أكثر تعقيداً في [76:37] التنفيذ. مرة أخرى، [76:38] المفهوم العام هو أنك [76:39] في مرشح كالمان الموسع [76:41] (EKF)، تقوم بخطية [76:42] التحويل. في مرشح [76:43] كالمان غير المعطر (UKF) [76:44] ، قمت بتقريب المتغير [76:46] العشوائي للمدخلات، [76:47] وتمريره بدقة عبر [76:49] الدالة غير الخطية، ثم [76:50] تعيد بناء الكثافة عند [76:52] المخرج. النتائج. لذا، [76:54] مع مرشح UKF، حتى لو كان [76:56] لدينا توزيع عريض جداً [76:58] ، فإن ما نحصل عليه [76:59] كمخرج هو شيء يشبه إلى [77:01] حد كبير أفضل توزيع [77:03] غاوسي يمكننا إعادة [77:04] بنائه، مقارنة بما [77:06] يمكن لمرشح EKF القيام [77:08] به. إذن، بشكل أساسي، [77:09] يميل UKF إلى أن يكون [77:10] أكثر قوة في الحالات [77:12] التي يكون لديك فيها [77:13] عدم يقين عالٍ، وهو ما [77:14] يعود إلى سؤاله. حسناً. [77:17] إذاً، في يوم الجمعة، [77:19] غداً، سنتحدث عن [77:20] المرشحات غير [77:21] المعلمية. بالنسبة [77:23] لأولئك الذين لن [77:24] يحضروا غداً، يوم [77:26] الثلاثاء، سنطبق كل ما [77:27] تعلمناه حتى الآن على [77:29] مشكلة التموضع [77:30] المحددة.