3Blue1Brown用保角几何解构黎曼ζ函数 揭示负十二分之一延拓本质

But what is the Riemann zeta function? Visualizing analytic continuation — 3Blue1Brown

3Blue1Brown

正整数之和等于-1/12并非真实的代数累加，而是复平面要求微观角度不变的保角约束下解析延拓产生的唯一外推值。

AI-assisted summary of But what is the Riemann zeta function? Visualizing analytic continuation — original source. Check the original for full context.

Source published:

Key ideas

  • 黎曼ζ函数的原始无穷级数定义仅在输入复数的实部大于 1 时收敛，在其他区域并不直接成立。 (1:29)
  • 大众流传的离奇等式 1+2+3+4+... = -1/12 并非真正的算术累加，而是黎曼ζ函数经过“解析延拓”后在 s = -1 处唯一确定的函数值。 (19:26)
  • 复分析中的解析性要求变换处处“保角”（保持微观相交角度不变），这使得将ζ函数平滑拓展到全复平面的方式有且仅有一种。 (10:36)
  • 未解的千禧年大奖难题“黎曼猜想”推测ζ函数的所有非平凡零点均严格分布在实部为 1/2 的临界线上，其分布直接编码了自然界中素数的规律。 (17:19)

Detailed notes

## Background 该视频由知名数学科普频道 3Blue1Brown（格兰特·桑德森）于 2016 年 12 月 9 日发布在 YouTube 平台。视频简介指出，本期内容旨在揭开黎曼猜想背后神秘函数的面纱，通过直观的几何动画带领观众可视化理解黎曼ζ函数与解析延拓的概念。

## TL;DR 视频从公众熟知的黎曼猜想以及荒谬等式“1+2+3+4+... = -1/12”切入，指出原始级数仅在实部大于 1 的区域收敛。随后，格兰特将视角引入复平面，利用网格变换生动展示了复函数的输入输出映射与螺旋收敛特性。通过揭示复函数“处处可导”所对应的保角性质，视频阐明了在全复平面上存在唯一的拼图方式将函数延展至发散区域，即解析延拓。最后，视频串联起编码素数分布规律的黎曼猜想及其临界线零点，从几何外推的角度澄清了 -1/12 这一数值背后的严谨数学本质。

## Atmosphere & style 整部视频散发着 3Blue1Brown 标志性的优雅、沉静与高度启发性。格兰特温和沉稳的原声旁白配合文斯·鲁比内蒂空灵悠扬的配乐，营造出一种在静谧中探索深邃真理的沉浸感。随着原本断裂的复变函数网格如魔术般平滑延展、反复穿透原点，观众的情绪会经历从对发散悖论的困惑，到领悟几何严密性时的由衷震撼与豁然开朗。

## Bulletin - [01:29](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=89s) 黎曼ζ函数的原始无穷级数定义仅在输入复数的实部大于 1 时收敛，在其他区域并不直接成立。 - [19:26](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=1166s) 大众流传的离奇等式 1+2+3+4+... = -1/12 并非真正的算术累加，而是黎曼ζ函数经过“解析延拓”后在 s = -1 处唯一确定的函数值。 - [10:36](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=636s) 复分析中的解析性要求变换处处“保角”（保持微观相交角度不变），这使得将ζ函数平滑拓展到全复平面的方式有且仅有一种。 - [17:19](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=1039s) 未解的千禧年大奖难题“黎曼猜想”推测ζ函数的所有非平凡零点均严格分布在实部为 1/2 的临界线上，其分布直接编码了自然界中素数的规律。

## Key takeaways - [00:04](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=4s) 大众对黎曼ζ函数的认知多源于百万美元千禧大奖“黎曼猜想”以及荒谬等式 1+2+3+4+... = -1/12。 - [01:29](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=89s) 黎曼ζ函数最初通过自然数倒数幂级数 ∑(1/n^s) 定义，该和式仅在输入复数 s 的实部大于 1 时才会收敛。 - [01:29](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=89s) 若直接把负数代入原始求和公式，会推导出如 1+2+3+4+... 或 1+4+9+16+... 等自相矛盾的发散悖论，说明原始级数在实部不大于 1 时必须失效。 - [03:41](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=221s) 将底数展开为复指数时，实部指数决定向量的长度衰减，而纯虚数指数则使其在单位圆上持续旋转。 - [03:41](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=221s) 在几何上，当 s 的实部大于 1 且带有虚部时，级数累加呈现为在复平面上不断盘旋并最终精准收敛的优雅螺旋线。 - [07:39](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=459s) 观察复函数的直观方式是将其视为复平面的网格变换，即观察每个输入点 s 连续移动至对应输出点 f(s) 的过程。 - [07:39](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=459s) 仅使用原始级数变换右半复平面网格时，图像会在收敛边界处戛然而止，呈现出一种迫切希望向左侧继续延展的几何形态。 - [10:36](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=636s) 复可导函数被称为“解析函数”，在几何层面严格等价于“保角性”，即平面上相交曲线变换后的夹角及旋转方向保持不变。 - [10:36](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=636s) 由于处处保角的要求极度严苛，将右半平面的ζ函数向全复平面平滑拓展的拼图解法有且仅有一种，这一过程称为“解析延拓”。 - [17:19](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=1039s) 解析延拓揭示了负偶数 s = -2, -4, -6... 都会被精确映射到原点，这些被称为ζ函数的“平凡零点”。 - [17:19](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=1039s) 所有非平凡零点都被证明局限在实部介于 0 到 1 之间的“临界带”内，且它们的分布深刻掌控着全体素数的分布节律。 - [17:19](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=1039s) 黎曼猜想推测所有非平凡零点完全落在实部为 1/2 的临界线上，动画中可见该线在变换后反复精准穿过原点。 - [19:26](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=1166s) 等式 1+2+3+4+... = -1/12 的本质是外推性质的投射：原始级数早已发散，但唯一的保角拼图强力把 s = -1 锚定在 -1/12 这个确定值上。

## Detailed walkthrough ### [00:04](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=4s) 黎曼ζ函数的谜团与争议

黎曼ζ函数是现代数学中最著名的概念之一，许多人对其略有耳闻，却往往觉得它难以捉摸、高深莫测。大众对这个函数的了解，通常始于两个极具冲击力的话题：其一是著名的“黎曼猜想”，如果有人能证明其所有非平凡零点的分布，就能赢得克雷数学研究所设立的一百万美元千禧年大奖；其二则是社交网络和科普文章中经常流传的荒谬等式——所有正整数之和 $1+2+3+4+\dots = -1/12$。

直觉上，$1+2+3+4+\dots = -1/12$ 简直错得离谱，毫无道理可言。但要给这个离奇等式赋予某种严格的数学含义，数学家最常用的工具恰恰就是黎曼ζ函数。不过，了解过该函数的数学爱好者大多明白，这里牵涉到一个极其晦涩、甚至违反直觉的复分析概念——“解析延拓”（Analytic Continuation）。本视频的核心目的，正是摆脱抽象的公式推导，用直观、生动的几何变换图像，向大家展示黎曼ζ函数究竟是什么样，以及解析延拓的几何真谛。

```mermaid flowchart TD accTitle: 黎曼ζ函数的核心认知脉络 accDescr: 解释公众对黎曼ζ函数的常见认知与其背后的数学现实。

subgraph PopularPerception ["大众眼中的两大谜题"] A["黎曼猜想<br>（价值100万美元的零点问题）"] B["离奇发散级数<br>（1 + 2 + 3 + 4 +... = -1/12）"] end

subgraph MathematicalCore ["背后的核心数学机制"] C["黎曼ζ函数：定义于复平面的复值函数"] D["解析延拓：将函数唯一延拓至全复平面"] end

A --> C B --> C C --> D ```

- 理解本期内容最好具备对复数的基本运用能力，若懂微积分则更佳，但即使不懂微积分，凭借视频中的几何直觉同样能彻底理解核心逻辑。

---

[01:29](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=89s) 级数求和与代入负数的荒谬悖论

进入正题，黎曼ζ函数最初是通过一个对所有自然数的倒数幂求和的无穷级数来定义的。用复变量 $s$ 来表示输入值，函数的求和形式为：

$$\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \dots$$

当代入正实数时，一切都符合经典微积分的常理。例如代入 $s = 2$，级数变为所有平方数的倒数之和 $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots$。这个和式是收敛的，最终趋向于一个优美的值 $\frac{\pi^2}{6}$（约等于 $1.645$）。在这个纯代数求和的阶段，“赞！没有奇怪的东西出现”，每一项随着自然数的增大而迅速衰减，最终累加出确定的数值。

然而悖论很快随之而来。许多资料宣称 $\zeta(-1) = -1/12$。如果直接把 $s = -1$ 强行套进这个求和公式中，每一项都会变成取 $(-1)$ 次方，也就是倒数的倒数，最终得到：

$$\zeta(-1) \stackrel{?}{=} 1 + 2 + 3 + 4 + \dots$$

一个由不断膨胀的正整数组成的无穷级数，根本不可能收敛到任何有限值，更不可思议的是它居然给出了一个负分数 $-1/12$。类似的悖论也出现在黎曼猜想讨论的“平凡零点”上：数学界证明了所有负偶数都是ζ函数的零点，这意味着 $\zeta(-2) = 0$。但如果直接代入公式，得到的却是：

$$\zeta(-2) \stackrel{?}{=} 1 + 4 + 9 + 16 + \dots$$

这同样是一个越加越大的发散级数，怎么可能等于 $0$？格兰特·桑德森强调：“只有当s大于1时，这个函数才有意义，因为这时级数才会收敛，目前为止，它还没有为其他值定义。”

---

[03:41](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=221s) 走进复平面：复数指数与螺旋收敛

波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）被誉为现代复分析之父，他摆脱了仅仅研究实数到实数映射的狭隘视角，转而探究将一个复数 $s$ 代入函数的表现。如果输入的不再是实数 $2$，而是复数 $2 + i$，级数的每一项就变成了复数次幂，比如 $(1/2)^{2+i}$。

要理解复数幂，关键在于将其拆分为实部指数与虚部指数的乘积：

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{2+i} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^i$$

实数幂 $(1/2)^2 = 1/4$ 决定了向量的长度（模长）；而纯虚数指数幂 $(1/2)^i$ 的结果永远落在复平面的单位圆上，其模长恒等于 $1$。随着指数沿虚轴上下移动，乘数会在单位圆上匀速旋转，且底数离 $1$ 越远（如 $1/9$），在圆周上的旋转速度就越快。

```mermaid flowchart LR accTitle: 复数幂的分拆与几何效应 accDescr: 展示将复指数分为模长缩放与纯虚数旋转两部分的几何机制。

Input["计算 (1/2)^(2 + i)"] SplitA["(1/2)^2 = 1/4<br>（确定大小/模长）"] SplitB["(1/2)^i<br>（落在单位圆上，模为1）"] Combine["几何结果：<br>将长为 1/4 的线段在复平面上旋转一个角度"]

Input --> SplitA Input --> SplitB SplitA --> Combine SplitB --> Combine ```

在几何上，将实部为 $2$ 的级数各项相加，就像把长度为平方数倒数的线段一条接一条地首尾拼合起来，最终收敛于实轴上的 $\frac{\pi^2}{6}$；一旦指数增加了虚部 $i$，每根小线段都会按其特定角度发生旋转，但它们的长度没有丝毫改变。因此，整个级数依然绝对收敛，只是从直线累加变成了一条沿着复平面不断盘旋紧缩的优雅“螺旋线”。只要 $s$ 的实部大于 $1$（即落在直线 $\text{Re}(s) = 1$ 的右侧），实部就足以保证线段长度衰减得足够快，使螺旋线的终点稳稳停在某个确定的复数上。

---

[07:39](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=459s) 观察复函数：网格变换与ζ函数的几何断崖

复函数的输入是二维平面上的点，输出也是二维平面上的点，如果在四维空间绘制图像会极其晦涩。更直观的理解方式是将复函数视为平面的“网格变换”——让平面上所有的输入点 $s$ 连续移动到它们对应的输出值 $f(s)$ 处。以简单的 $f(s) = s^2$ 为例：输入 $2$ 移动到 $4$、输入 $-1$ 移动到 $1$、输入 $i$ 则依据定义移动到 $-1$。在带有颜色标记的二维正交网格上施加这种变换，不仅直观，而且在二维空间里就完美呈现了复函数的作用机理。

当把这种平移变换应用到黎曼ζ函数的级数定义区域——即实部大于 $1$ 的右半复平面时，令人惊叹的景象出现了。右半平面的网格线在变换的作用下扭转、舒展成极其优雅的曲线群。格兰特·桑德森感叹道：“好家伙！如果这都无法激起你学习复函数的兴趣，那你真的有些无情。”

但细看这幅壮丽的画卷，会发现一个巨大的遗憾：变换后的网格似乎强行在一条边界处被拦腰截断。特别是虚部为 $i$ 和 $-i$ 的两条平行水平线，变换后变成了两道流畅延展的抛物状弧线，却在收敛边界处戛然而止。变换后的图形呈现出一种近乎本能的渴望，仿佛迫切希望向左侧的虚空继续生长和铺展。

---

[10:36](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=636s) 处处可导与保角性：唯一的无限拼图

为什么不能随心所欲地把那些断掉的弧线连上？如果允许随意延长曲线，自然有无限种办法给左半平面的点赋予函数值；你可以任性地让 $s = -1$ 映射到 $-1/12$，也可以把它揉捏到任何想要的位置。然而，复分析赋予了函数一个极其严苛的物理与几何铁律：“处处可导”。

在复数世界里，函数“处处可导”被称为“解析函数”（Analytic Function）。在几何变换的视角下，解析性拥有一个极其优美直观的等价解释：**保角性（Conformal property）**。

- **交角不变**：在原空间中任意画出两条相交的直线，经过解析函数变换后，虽然直线会弯曲成曲线，但在它们的交点处，两条切线的夹角以及旋转方向必须与变换前完全一致。 - **正交网格保持正交**：由于原复平面是由互相垂直的水平线和垂直线构成的，保角性保证了变换后的曲面网格在交点处依然处处保持 $90^\circ$ 直角（仅在极少数导数为 $0$ 的点，角度会扩大为整数倍，但那些点在整体中微乎其微）。

这种“处处保持微观角度不变”的要求极度严苛。如果要把右半平面的解析函数平滑拓展到左半平面，同时要求拓展后的函数整体依然是解析的，那么数学推导证明：**有且仅有一种延拓方式**。

> “这就像是一幅无限而连续的拼图，保角的条件把你限制在唯一的延拓方式上。以唯一一种保持解析性的方式延拓解析函数的过程，或许你已经猜到了，就叫做‘解析延拓’。”

于是，完整的黎曼ζ函数被以一种奇特而深刻的方式定义：在右半平面（$\text{Re}(s) > 1$），它就是那个收敛的自然数倒数幂无穷螺旋和；而在其余所有的复平面区域，它就是由那块无穷拼图唯一延展开来的保角解析函数。

```mermaid flowchart TD accTitle: 解析延拓的推导与定义逻辑 accDescr: 从右半平面的无穷级数通过保角拼图唯一延拓到左半平面的逻辑图。

subgraph RightHalf ["收敛区域：Re(s) > 1"] SumDef["无穷级数定义：<br>1/1^s + 1/2^s + 1/3^s +..."] Properties["收敛为确定的复数<br>几何表现为螺旋线收敛<br>天然满足解析性（保角变换）"] SumDef --> Properties end

subgraph Condition ["唯一性桥梁：解析条件"] Req["延拓约束条件：<br>要求在全复平面处处可导<br>几何直觉：微观夹角处处保持不变（保角）"] end

subgraph LeftHalf ["全复平面延拓：Re(s) ≤ 1"] FullZeta["完整的黎曼ζ函数<br>（自然数的级数和在此处发散失效，<br>但延拓的几何拼图只有唯一的拼法）"] end

Properties --> Req Req --> FullZeta ```

---

[17:19](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=1039s) 百万大奖的黎曼猜想与素数奥秘

解析延拓虽然从逻辑上证明了完整的ζ函数必然存在，但这种定义是抽象间接的，并没有直接给出一套简单的通用算式，也因此留下了许多数学中最深刻的谜团。其中最为核心的，就是寻找该函数的“零点”——即在网格变换后，复平面上哪些点会被移动压缩到原点 $(0,0)$。

关于ζ函数的零点，目前数学界已知的结论如下： - **平凡零点（Trivial zeros）**：所有负偶数 $-2, -4, -6, \dots$ 都会在解析延拓中被精确映射到原点。之所以被称为“平凡”，是数学界的一种调侃传统——凡是被数学家彻底研究清楚并证明的东西，即使过程极不显然，也被称为平凡的。 - **临界带（Critical strip）**：其余所有的零点都被证明局限在实部介于 $0$ 到 $1$ 之间的竖直带状区域内。 - **非平凡零点的核心价值**：这些零点在临界带内的分布并不是随机杂乱的，它们极其精确地编码了整个自然界中全体素数（质数）的分布规律。

这便引出了轰动世界的“黎曼猜想”（Riemann Hypothesis）：黎曼推测，所有非平凡零点并不是散落在临界带的各处，而是全部整齐地排列在临界带正中心的一条垂直直线上——即实部恒等于 $1/2$ 的直线上，这条直线被称为“临界线”（Critical line）。

在视频演示的动态变换中，当标记出 $\text{Re}(s) = 1/2$ 这条临界线并应用ζ函数变换时，原本看似没有穿过原点的曲线在被延长之后，不可思议地一次又一次反复穿透原点中心。如果有人能给出严格证明，确认所有非平凡零点无一例外全部落在这条临界线上，克雷数学研究所将颁发一百万美元的悬赏奖金，同时成百上千篇基于“假设黎曼猜想成立”而展开的现代前沿数学命题也将瞬间荣升为无可争议的真理。

```mermaid flowchart LR accTitle: 黎曼ζ函数的两类零点与黎曼猜想 accDescr: 展示平凡零点与临界线上非平凡零点的划分结构。

ZetaZeros["黎曼ζ函数的零点<br>（变换后落入原点的输入点）"]

subgraph TrivialSection ["负实轴部分"] Trivial["平凡零点：<br>s = -2, -4, -6,...<br>（已完全研究透彻）"] end

subgraph NonTrivialSection ["临界带内：0 < Re(s) < 1"] CriticalLine["临界线：Re(s) = 1/2"] Hypothesis["黎曼猜想：<br>所有非平凡零点全都在临界线上<br>（蕴藏素数分布规律，价值100万美元）"] CriticalLine --> Hypothesis end

ZetaZeros --> TrivialSection ZetaZeros --> NonTrivialSection ```

---

[19:26](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=1166s) 破解 -1/12：代数外推与视频尾声

回到开头的发散级数悖论：现在可以真正厘清 $\zeta(-1) = -1/12$ 的含义了。在这幅经过解析延拓构造的完整几何拼图中，输入点 $s = -1$ 确实被精确映射到了 $-1/12$ 这个位置。

严格来说，把这表述为 $1+2+3+4+\dots = -1/12$ 显得有些狡猾甚至误导，因为在 $s = -1$ 处，原始的加法级数早就已经彻底发散奔溃了；真正的 $-1/12$ 并非直接相加出来的结果，而是右半平面收敛区域的解析性质，通过唯一拼图的方式强制约束外推到左半平面所得的函数值。然而，正如格兰特·桑德森所指出的：

> “即便如此，你得承认这个解析延拓有唯一性，这个拼图只有一种解法，这强烈暗示着，延拓得到的值与原始和之间有着某种内在联系。”

在视频的尾声，格兰特感谢了在 Patreon 上支持该频道的观众以及本期视频的赞助商 Audible。他分享了自己常年使用 Audible 听书的习惯，无论是在通勤、慢跑还是做饭时，听书都能改变生活节奏。他特别推荐了自己哥哥力荐的一本书——乔希·维茨金（Josh Waitzkin）的《学习之道》（*The Art of Learning*）。维茨金童年时是全美著名的国际象棋冠军，成年后转练太极拳又迅速斩获国际世界冠军。维茨金在书中阐述的诸如“从残局入手”等高效跨界学习心法，在数学研究和学习上也完全相通。观众可以通过专属链接免费试用一个月并收听该作品。最后，视频以一段展示黎曼ζ函数导函数几何形态的精美动画收尾，再次展现了复变函数不可思议的动态之美。

## Notable quotes > [10:36](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&t=636s) 保角的条件把你限制在唯一的延拓方式上。以唯一一种保持解析性的方式延拓解析函数的过程，或许你已经猜到了，就叫做‘解析延拓’。 — 格兰特·桑德森

## Mentioned 黎曼ζ函数, 黎曼猜想, 克雷数学研究所, 解析延拓, 波恩哈德·黎曼, 格兰特·桑德森, 3Blue1Brown, Audible, 乔希·维茨金, 《学习之道》, Vince Rubinetti

## Video description Unraveling the enigmatic function behind the Riemann hypothesis Help fund future projects: https://www.patreon.com/3blue1brown An equally valuable form of support is to simply share some of the videos. Special thanks to these supporters: http://3b1b.co/zeta-thanks Home page: https://www.3blue1brown.com/ Posters/shirts for this visualization at http://3b1b.co/store

Music by Vince Rubinetti: https://soundcloud.com/vincerubinetti/riemann-zeta-function

Check out some of Vince's other work here: http://www.vincentrubinetti.com/

For those who want to learn more about complex exponentiation, here are a few resources: - My video on the topic: http://youtu.be/mvmuCPvRoWQ - Mathologer's: https://youtu.be/-dhHrg-KbJ0 - Better Explained: https://goo.gl/z28x2R

For those who want to learn more about the relationship between 1+2+3+4+... and -1/12, I'm quite fond of this blog post by Terry Tao: https://goo.gl/XRzyTJ

Also, in a different video "What does it feel like to invent math", I give a completely different example of how adding up growing positive numbers can meaningfully give a negative number, so long as you loosen your understanding of what distance should mean for numbers: https://youtu.be/XFDM1ip5HdU

Interestingly, that vertical line where the convergent portion of the function appears to abruptly stop corresponds to numbers whose real part is Euler's constant, ~0.577. For those who know what this is, it's kind of fun to puzzle about why this is the case.

Thanks to these viewers for their contributions to translations Hebrew: Omer Tuchfeld

------------------

3blue1brown is a channel about animating math, in all senses of the word animate. And you know the drill with YouTube, if you want to stay posted about new videos, subscribe, and click the bell to receive notifications (if you're into that).

If you are new to this channel and want to see more, a good place to start is this playlist: https://goo.gl/WmnCQZ

Various social media stuffs: Website: https://www.3blue1brown.com Twitter: https://twitter.com/3Blue1Brown Patreon: https://patreon.com/3blue1brown Facebook: https://www.facebook.com/3blue1brown Reddit: https://www.reddit.com/r/3Blue1Brown

[Source](https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw)

中文简报

3Blue1Brown用保角几何解构黎曼ζ函数 揭示负十二分之一延拓本质 正整数之和等于-1/12并非真实的代数累加，而是复平面要求微观角度不变的保角约束下解析延拓产生的唯一外推值。 视频从公众熟知的黎曼猜想以及荒谬等式“1+2+3+4+... = -1/12”切入，指出原始级数仅在实部大于 1 的区域收敛。随后，格兰特将视角引入复平面，利用网格变换生动展示了复函数的输入输出映射与螺旋收敛特性。通过揭示复函数“处处可导”所对应的保角性质，视频阐明了在全复平面上存在唯一的拼图方式将函数延展至发散区域，即解析延拓。最后，视频串联起编码素数分布规律的黎曼猜想及其临界线零点，从几何外推的角度澄清了 -1/12 这一数值背后的严谨数学本质。 黎曼ζ函数的原始无穷级数定义仅在输入复数的实部大于 1 时收敛，在其他区域并不直接成立。 (1:29) 大众流传的离奇等式 1+2+3+4+... = -1/12 并非真正的算术累加，而是黎曼ζ函数经过“解析延拓”后在 s = -1 处唯一确定的函数值。 (19:26) 复分析中的解析性要求变换处处“保角”（保持微观相交角度不变），这使得将ζ函数平滑拓展到全复平面的方式有且仅有一种。 (10:36) 未解的千禧年大奖难题“黎曼猜想”推测ζ函数的所有非平凡零点均严格分布在实部为 1/2 的临界线上，其分布直接编码了自然界中素数的规律。 (17:19)

Reading summary

格兰特·桑德森指出，黎曼ζ函数并非直接计算发散级数的算式，其求和形式仅在输入实部大于1时通过螺旋线收敛；网络上流传的 1+2+3+... = -1/12 及负偶数零点，本质上源于复分析中具有唯一性的“解析延拓”几何法则。 级数定义与复平面上的螺旋收敛 (3:41) 黎曼ζ函数最初通过自然数倒数幂求和定义：ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + ...。当代入实数 s = 2 时，级数收敛为著名的优美值 π²/6。波恩哈德·黎曼将该定义拓展至复数输入，若取 s = 2 + i，每一项的底数指数可拆分为实部幂与纯虚数幂的乘积；实部决定了线段的模长衰减，而纯虚数指数则令其在单位圆上旋转。几何上，复数项相加就像将逐渐变短的线段首尾相接，最终在复平面内盘旋收敛为一条优雅的螺旋线。 只要输入点落在实部大于1的右半平面，实部衰减速度就足以保证螺旋线稳定收敛到确定的复数输出。反之，若在实部小于等于1的区域强行套用原求和公式，如代入 s = -1 会产生不断膨胀的正整数求和，代入负偶数如 s = -2 会产生平方数之和。桑德森强调，原始级数定义在这些区域本身并不收敛，因而无法直接代入计算。 网格变换、保角性与解析延拓的唯一性 (10:36) 为了直观理解复函数，可将其视为将二维正交网格上的输入点 s 连续平移至输出点 f(s) 的几何变换。将此变换应用于 ζ 函数的级数收敛区（实部大于1）时，原本平直的网格会舒展成极富韵律的曲面，但在边界处戛然而止，呈现出向左半平面延伸的强烈几何冲动。然而，左侧区域的填补并非随意画线，而是受到复分析中“处处可导”（解析性）的严格约束。 在几何变换中，解析性等价于“保角性”——即原网格直线在弯曲后，微观交点处的夹角与方向必须完全保持不变，正交网格在变换后处处维持90度直角。这一苛刻条件使得从右半平面平滑拓展到左半平面时，如同一幅严丝合缝的连续拼图，有且仅有一种拓展方式。这种保持解析性的唯一延展过程即被称为“解析延拓”，完整的黎曼ζ函数正是由这块唯一拼图在全复平面上确立的。 两类零点分布与价值百万的黎曼猜想 (17:19) 解析延拓虽确立了全平面函数形态，却未提供简易的通用计算通项，因而引出了对“零点”（即变换后被映射至原点的点）的深入探究。数学界已证明，所有负偶数 -2, -4, -6... 在解析延拓下均会被精确映射到原点，这些被称为“平凡零点”。而其余全部“非平凡零点”，则被严格证明局限在实部介于0与1之间的垂直“临界带”内，且其分布精细编码了全体自然数中素数（质数）的分布规律。 黎曼提出著名的“黎曼猜想”：推测所有非平凡零点并非杂乱分散在临界带中，而是无一例外全部精确排列在实部恒等于 1/2 的“临界线”上。在几何变换演示中，实部为 1/2 的直线在映射后确实一次次反复穿过原点。克雷数学研究所为此设立了一百万美元千禧年悬赏奖金，若该猜想被严格证明，现代前沿数学中成百上千个以此为假设的前提命题都将直接确立为定理。 破解负十二分之一的发散级数悖论 (19:26) 理解了解析延拓后，便可拨开 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 的荒谬迷雾。严格来说，断言正整数无穷相加等于负分数是具有误导性的，因为在输入点 s = -1 时，原始级数已完全发散崩溃；真正的 -1/12 并非直接相加所得的算术和，而是根据右半平面的解析性质，通过唯一保角拼图强行外推到左半平面后所得到的函数值，即 ζ(-1) = -1/12。 尽管直接写出发散级数等式在定义上不够严谨，但桑德森指出，正是由于解析延拓具备绝对的唯一性、整幅拼图只有唯一的一种拼法，这种数学上的确定性强烈暗示着解析延拓获得的值与原始和式之间，存在着某种极其深刻的内在代数联系。 解析延拓凭借严苛的保角约束，消解了发散级数表面的荒谬性，确立了黎曼ζ函数在全复平面上的唯一几何结构；然而，这一抽象构造尚未给出直接的通式，确认所有非平凡零点是否严格受限于临界线上的黎曼猜想，至今仍是数学界悬而未决的百万美元难题。

Source quotes

[10:36] 格兰特·桑德森: 保角的条件把你限制在唯一的延拓方式上。以唯一一种保持解析性的方式延拓解析函数的过程，或许你已经猜到了，就叫做‘解析延拓’。

Original transcript

[0:04] 黎曼ζ函数 [0:06] 你们大部分人可能对这个现代数学概念有所耳闻 [0:09] 但是难以理解它 [0:12] 别担心 很快我就会解释你刚才看到的动画 [0:15] 不少人知道这个函数 [0:17] 是因为求出其零点的人能够获得一百万美元的奖励 [0:22] 这一悬而未解的问题就是"黎曼猜想" [0:25] 有人可能是从发散级数1+2+3+4+...听说的 [0:33] 有一种观点认为它等于-1/12 [0:37] 这看起来似乎很荒谬 甚至可以说错得离谱 [0:40] 但是定义它的一种常见方法 就用到了黎曼ζ函数 [0:46] 不过 了解过这个函数的数学爱好者都知道 [0:50] 它的定义涉及一个概念 叫做“解析延拓” [0:55] 这个概念与复值函数有关 [0:57] 而且它既不直观又艰深难懂 [1:01] 所以我想做的 是向你们展示ζ函数究竟长什么样 [1:06] 并且用一种更加形像直观的方法解释解析延拓 [1:14] 我假定你了解什么是复数 [1:16] 并且能轻松自如地运用它 [1:18] 或许你还应该了解微积分 [1:21] 因为解析延拓就是与导数相关的概念 [1:24] 但是按照我计划的讲解方式 [1:26] 我觉得你不懂微积分也是可以的 [1:29] 接下来进入正题 我们先来定义ζ函数 [1:33] 对于任意一个数 我们通常用变量s代表它 [1:36] 这个函数就是1/(1^s) （也就是1） [1:40] 加上1/(2^s) [1:42] 加上1/(3^s) [1:43] 加上1/(4^s) [1:45] 这样一直下去 对所有自然数求和 [1:51] 比如说 你将s=2代入其中 [1:54] 就能得到1+1/4+1/9+1/16+... [2:00] 当你继续把更多的平方数的倒数加起来 [2:03] 数字恰好趋向于π^2/6 大约是1.645 [2:09] π在这里出现 背后有个漂亮的原因 [2:12] 我将来可能会制作一期视频 [2:14] 不过 它也只是这个美妙函数的冰山一角 [2:18] 你还可以代入其他的值 比如3或4 [2:22] 有时你也能得到一些有趣的结果 [2:25] 到目前为止 一切都相当合理 [2:27] 你在对越来越小的数加和 [2:29] 而且和趋向于某个数 [2:32] 赞！没有奇怪的东西出现 [2:34] 不过 如果你读过一些资料 [2:36] 你可能注意到有些人说ζ(-1)等于-1/12 [2:41] 但是看看这个无穷级数 这根本就说不通 [2:45] 当你取每一项的(-1)次方 颠倒每一个分数 [2:50] 你会得到1+2+3+4+... 也就是所有自然数的和 [2:55] 显然它不趋向于任何值 更不会是-1/12 对吧？ [3:01] 挑战过黎曼猜想奖金的人也都知道 [3:04] 负偶数是这个函数的平凡零点 [3:09] 所以这意味著ζ(-2)等于0 [3:13] 但是当你代入-2时 你会得到1+4+9+16+... [3:19] 和之前一样 它明显不趋向于任何值 更别提0了 对吧？ [3:24] 我们稍后再说如何代入负值 [3:27] 现在我们先谈谈合理的情况 [3:31] 只有当s大于1时 这个函数才有意义 [3:34] 因为这时级数才会收敛 [3:36] 目前为止 它还没有为其他值定义 [3:41] 可以说 波恩哈德·黎曼能够称得上是“复分析之父” [3:46] 这个理论所研究的函数 变量和取值都是复数 [3:50] 他所考虑的 [3:52] 不是如何将实轴上的某个数s变换到实轴上的另一个数 [3:58] 而是著眼于代入一个复数s会有什么结果 [4:04] 比如说 你代入的数可能不是2 而是2+i [4:10] 如果你从未见过一个数的虚数次方 [4:14] 可能一开始你会觉得陌生 [4:16] 因为它不再与多次相乘有关 [4:20] 但是数学家发现了一种很好很自然的方法 [4:23] 将指数的定义从熟悉的实数域拓展到复数域中 [4:33] 就这期视频的内容来说 理解复指数并不关键 [4:37] 但我还是觉得总结一下要点还是好的 [4:41] 它的基本思想在于 [4:42] 当你取一个数（如1/2）的复数次方时 [4:46] 你把它分成1/2的实部次方乘以1/2的虚部次方 [4:52] 我们熟悉1/2的实部次方 这部分没有问题 [4:55] 但是取一个数的纯虚数次方呢？ [5:03] 它的结果就是复平面单位圆上的某个复数 [5:09] 当你让指数沿著虚轴上下移动 [5:14] 结果就会沿著单位圆移动 [5:21] 如果1/2作为底数 [5:23] 结果会以较慢的速度在单位圆上移动 [5:27] 但是如果底数离1很远 比如1/9 [5:31] 当指数沿著虚轴上下移动时 [5:34] 结果便会以更快的速度在单位圆上移动 [5:39] 如果你从未见过这个 想知道究竟为什么会这样 [5:42] 可以去看看视频简介/评论中的优质资源链接 [5:45] 这里我就直接使用结果 而不再解释原因 [5:49] 重点在于 当你计算(1/2)^(2+i)时 [5:54] 也就是(1/2)^2乘以(1/2)^i [5:57] (1/2)^i那部分就在单位圆上 意味著它的模是1 [6:05] 所以(1/2)^2与它相乘时 它并不改变这个数的模 [6:09] 只是将1/4旋转了一下 [6:15] 所以当你将2+i代入ζ函数中 [6:19] 一种思考方法是 [6:20] 首先取每一项的平方 [6:24] 你可以看作是把长度为平方数倒数的线段拼凑起来 [6:30] 正如我之前所说 它收敛到π^2/6 [6:34] 然后当指数从2变成2+i时 [6:38] 每条线段都经过了一定的旋转 [6:41] 但重点在于 这些线段的长度不发生变化 [6:44] 所以和仍旧收敛 [6:46] 它只是以螺旋的方式收敛到复平面上的某个点 [6:50] 现在让我展示一下s变化时会发生什么 [6:53] 复平面上的黄点代表s [6:56] 而螺旋线的终点代表这个和的收敛值 也就是ζ(s) [7:13] 这也就是说 [7:14] 用这个无穷级数定义的ζ(s)是一个完全合理的复函数 [7:20] 只要代入值的实部大于1 [7:23] 也就是s落在复平面的右半部分即可 [7:29] 这是因为 [7:30] s的实部决定每个数的模 [7:34] 而虚部只决定它的旋转 [7:39] 我现在想将这个函数可视化 [7:42] 给定复平面右半部分的一个数 [7:46] 函数就会在复平面上输出另一个数 [7:49] 理解复函数的一个好方法是通过变换来将其可视化 [7:55] 意思是说 你考虑函数所有能代入的值 [7:58] 然后让它们移动到对应的像 [8:02] 我们先花点时间来可视化一个比ζ(s)更简单的函数 [8:06] 比如f(s)=s^2 [8:09] 代入2会得到4 [8:12] 所以2代表的点最终会移动到4的位置 [8:16] 代入-1则会得到1 [8:19] 所以-1代表的点会移动到1的位置 [8:25] 当你代入i 按照定义 它的平方是-1 [8:28] 所以它会移动到-1的位置 [8:32] 因为整个平面要开始移动了 [8:34] 所以我在这里添加一个彩色网格 [8:36] 这样做是为了更好区分移动前后的网格线 [8:40] 这里 我让计算机将这个平面上的每一个点 [8:45] 在f(s)=s^2的作用下移动到像的位置上 [8:50] 这就是最终结果 [8:55] 这里信息量有点大 所以我重新播放一遍 [8:58] 这一次 关注其中一个标记点 [9:01] 注意它是如何移动到其平方数代表的位置上的 [9:07] 同时观察所有点移动或许会有些混乱 [9:10] 但是好处在于它给出了丰富的图像 [9:14] 让我们了解复函数究竟在做什么 [9:16] 而且这一切都在二维空间中发生！ [9:20] 回到ζ函数 [9:22] 我们有一个无穷级数 它是复数s的函数 [9:26] 并且我们能顺利代入实部大于1的复数s [9:31] 然后根据螺旋线的收敛得到有意义的结果 [9:35] 为了将这个函数可视化 [9:37] 我取出复平面的右半部分 [9:41] 也就是实部大于1的部分 [9:44] 让计算机将每一个点移动到它对应的位置 [9:49] 实际上 在1附近添加些额外的网格线有助于演示 [9:52] 因为这部分会被向外拉伸很多 [9:59] 很好 首先我们得好好欣赏这究竟有多么漂亮 [10:03] 好家伙！ [10:05] 如果这都无法激起你学习复函数的兴趣 那你真的有些无情 [10:11] 不过 变换后的网格非常想要继续向左延伸 [10:17] 比如说 我们来关注这样两条直线 [10:19] 它们由虚部为i或-i的全体复数组成 [10:27] 它们在变换后成为两段美妙的弧线 却在一处戛然而止 [10:32] 难道说 你就不想补全这两段弧吗？ [10:36] 事实上你可以想像 存在著一个改良版的函数 [10:40] 它的定义域延伸至左半平面 [10:44] 这样也许能够补全这幅美妙的图景 [10:48] 这正是研究复函数的数学家所做的 [10:52] 他们将函数延拓至原定义域之外 [10:58] 只要我们代入实部小于1的复数 [11:02] 我们原先讨论过的无穷级数和就不再有意义 [11:07] 你会得到形如1+2+3+4+...的荒谬结果 [11:12] 但是 看看右半平面（无穷级数收敛的区域）变换后的结果 [11:17] 它在乞求我们扩大定义域的范围 [11:22] 即便经过某种方式延拓后的函数不一定用到那个无穷级数 [11:29] 这自然留下了一个问题 [11:30] 我们究竟如何在余下的平面内定义这个函数？ [11:34] 你可能会觉得 存在无数种方法进行延拓 [11:38] 比如说 你可以定义一种延拓 它将s=-1映射为-1/12 [11:47] 但你也可以对它进行扭曲 使得s落在其他位置上 [11:51] 只要你放开头脑 大胆想像 [11:56] 不根据无穷级数来定义收敛域之外的函数值 [12:02] 大千世界便尽在掌握 [12:03] 你就有无限种方式来进行延拓 对吗？ [12:07] 并不尽然 [12:09] 当然 你可以给小孩一支笔 [12:11] 让他随意延长那些弧线 [12:14] 但如果加上一个限制条件：延拓后的复函数处处可导 [12:20] 那就迫使我们选择唯一的延拓方式了 [12:25] 好啦好啦 我知道我曾经说过 看这期视频不需要知道导数 [12:29] 即便你学过微积分 [12:30] 你也可能还没学到复函数的导数是什么意思 [12:34] 幸运的是 你可以记住一种非常好的几何直觉 [12:39] 每当我说“处处可导”时 你就可以这么想 [12:43] 为了说明这句话的意思 我们回头看看之前的例子：f(s)=s^2 [12:48] 我们还是把这个函数看作变换 [12:50] 它将复平面上的每一个点s移动到s^2 [12:56] 那些懂微积分的人 [12:57] 知道这个函数能在任何地方求导 [13:01] 但是作为变换 它有一条有趣的性质 [13:04] 事实上 这条性质和“处处可导”几乎等价 [13:08] 如果任取原空间中两条相交的直线 [13:13] 然后考虑变换之后的像 [13:16] 它们的交角并不会发生改变 [13:21] 直线可能会有所弯曲 但是这不要紧 [13:23] 重要的是 它们的交角并不改变 [13:28] 取任何一对直线 这一点都成立 [13:35] 所以当我说一个函数“处处可导”时 [13:37] 我希望你心里想的是这个保角特性 [13:40] 即任意一对直线的交角在变换之后保持不变 [13:47] 一眼瞥去 你会注意到网格线在变换后仍然彼此正交 [13:53] 这是最容易理解保角性的 [13:58] 处处可导的复函数被称为是“解析函数” [14:02] 所以你可以把“解析的”理解为“保角的” [14:06] 我得承认这并不完全准确 但也几乎无差 [14:10] 我稍微提醒一下那些追根究底的观众 [14:13] 在那些导数为0的点处 [14:16] 交角并非保持不变 而是变成了某个整数倍 [14:20] 但这些点只是少数中的少数 [14:23] 几乎所有情况下 解析函数都保持交角不变 [14:29] 因此我说“解析”时 [14:31] 你完全可以将它直观地理解为“保角” [14:39] 现在请你仔细体会 我非常希望你能明白 [14:43] 这是一个非常强的约束条件 [14:46] 任意一对直线的交角必须保持不变 [14:51] 不过 那些能叫出名字的函数几乎全都是解析的 [14:58] 黎曼协助建立了复分析的现代形式 [15:03] 而这门理论几乎完全是关于利用解析函数的性质 [15:07] 来理解数学的其他领域及自然科学中出现的结果和规律 [15:12] 在右半平面上以无穷级数定义的ζ函数是一个解析函数 [15:19] 注意一下 网格线在变换后仍然彼此正交 [15:28] 复函数的一个出人意料的性质在于 [15:31] 如果你想把一个解析函数延拓至原定义域之外 [15:37] 比如将ζ函数延拓至左半平面 [15:41] 并且你要求延拓后的函数仍然解析 [15:45] 也就是说它处处保角 [15:48] 那么你只能按照唯一的方式来进行延拓（如果它存在的话） [15:53] 这就像是一幅无限而连续的拼图 [15:56] 保角的条件把你限制在唯一的延拓方式上 [16:04] 以唯一一种保持解析性的方式延拓解析函数的过程 [16:09] 或许你已经猜到了 就叫做“解析延拓” [16:15] 以上就是完整黎曼ζ函数的定义过程 [16:18] 对于右半平面 也就是实部大于1的s [16:22] 直接把它们代入这个和 看它收敛到何处 [16:25] 这种收敛可能看上去像是某种螺旋 [16:27] 因为每一项取复数次幂有著旋转的效果 [16:33] 对于余下的平面 [16:35] 我们知道存在唯一一种延拓方式 [16:39] 使得函数仍然解析 [16:41] 也就是说它仍然处处保角 [16:45] 所以我们就说 [16:46] 不管这个延拓的结果是什么 左半平面的ζ函数就是它了 [16:52] 而且这是一个有效的定义 因为只有一种可能的解析延拓 [16:58] 注意 这个定义很不直接 [17:01] 这只是说使用“拼图”得到的结果 [17:04] 通过繁杂抽像的推导 我们知道它必须存在 [17:07] 但这并没有指明我们如何求解它 [17:11] 数学家基本上理解了这个延拓的形式 [17:14] 但是某些重要部分仍旧是个谜 [17:17] 实际上是个价值一百万美元的谜 [17:19] 我们来花点时间讨论黎曼猜想 这个价值百万的问题 [17:24] 这个函数的零点 原来是相当重要的 [17:28] 也就是说 哪些点在变换之后与原点重合 [17:34] 关于这个延拓 我们知道所有的负偶数被映射到0 [17:41] 这些点通常被称为“平凡零点” [17:44] 这个命名方式源于数学家的一个悠久的传统 [17:47] 他们能很好地理解的东西就是“平凡的” [17:50] 即便这个事实乍一看来一点都不显然 [17:54] 我们也知道剩下的零点落在这条竖直的带状区域中 [18:00] 它被称为“临界带” [18:02] 而这些非平凡零点的具体分布 蕴含著有关素数的海量信息 [18:09] 为何这个函数包含这么多关于素数的信息？ 说起来非常有趣 [18:13] 我想我之后会制作一期有关的视频 [18:15] 不过这期视频已经很长了 我就先不解释了 [18:19] 黎曼猜想道：所有非平凡零点全部落在临界带的正中央 [18:24] 即实部为1/2的数所构成的直线上 [18:29] 它被称为“临界线” [18:31] 如果这是真的 它能让我们深刻理解素数分布的规律 [18:36] 同样也包含由此衍生出的其他众多数学规律 [18:40] 到目前为止 我在展示ζ函数时 [18:43] 都只展示了屏幕上的这一部分 [18:47] 这可能低估了它的复杂程度 [18:50] 当我标注出临界线 然后应用变换 [18:54] 它似乎根本不通过原点 [18:57] 但是 变换后的临界线延伸之后是这样的 [19:06] 注意这条线多次穿过了原点 [19:10] 如果你能证明所有非平凡零点落在这条线上 [19:15] 克雷数学研究所就会奖励你一百万美元 [19:18] 同时你也将证明了成百上千的现代数学结论 [19:21] 因为它们都是在假定黎曼猜想成立的前提下得到的 [19:26] 我们还知道这个延拓后的函数将-1映射到-1/12 [19:34] 如果你把-1代入一开始的和里面 [19:36] 这似乎是在说1+2+3+4+...等于-1/12 [19:42] 我们要是仍然把它称为一个和式 似乎有些狡猾 [19:45] 因为ζ函数在左半平面内的定义并不是直接从“和”而来的 [19:51] 而是来源于这个和在原定义域外的解析延拓 [19:57] 也就是完成这个从右半平面开始的拼图 [20:01] 即便如此 你得承认这个解析延拓有唯一性 [20:06] 这个拼图只有一种解法 [20:09] 这强烈暗示著 [20:10] 延拓得到的值与原始和之间有著某种内在联系 [20:16] 最后还有一个非常漂亮的动画 [20:18] 我会向你们展示ζ函数的导函数是什么样的 [20:22] 不过在此之前 我要让你知道是谁让这期视频成为可能 [20:25] 这对我来说很重要 [20:27] 首先 有著和你一样的观众直接在Patreon上资助我 [20:32] 这期视频也有audible.com的赞助 [20:35] audible.com提供有声书与其他有声读物 [20:39] 我拥有Audible已经有段时间了 几乎每天都使用它 [20:42] 不论你是乘车上下班 慢跑 做饭 还是做别的事情 [20:46] 如果你还没有养成“听书”这个习惯 [20:49] 它能大大改变你的生活 [20:51] 我最近听到的一本特别棒的书是乔希·维茨金的《学习之道》 [20:56] 这本书是在我哥哥的强烈推荐下入手的 [20:59] 我想你们应该会相当喜欢它 [21:02] 作者乔希·维茨金在他的童年时期一直是全美像棋冠军 [21:06] 后来他开始学习太极拳 [21:08] 在短短几年内就成为了国际冠军 [21:11] 所以说 这个人明白学习的秘诀 [21:14] 我发现他所说的学习像棋与太极的方法 [21:17] 都能很好地转化到数学的学习上 [21:19] 特别是他提到的“从残局入手” [21:23] 访问audible.com/3blue1brown [21:26] 你就可以免费听《学习之道》或其他有声书 [21:30] 你可以通过这个链接免费试用一个月 [21:33] 而且也让Audible知道你是我介绍来的 [21:36] 这能鼓励他们赞助更多像这样的视频 [21:39] 我使用这个产品有一段时间了 [21:41] 我也非常乐意推荐它 [21:45] 这就是结尾的动画——ζ函数的导函数是什么样的